REBONDS – TRACÉS DE TRAJECTOIRES – Suites horizontales

          

TRACÉS DE SUITES HORIZONTALES

Dans le chapitre sur la dégressivité des longueurs d’une suite de rebonds horizontaux, nous avons vu comment la résistance en X, aux impacts au sol, tendait plus ou moins la courbe de dégressivité entre la droite et la parabole, selon le nombre de rebonds que l’on souhaite répartir sur une longueur donnée. Si on souhaite en répartir beaucoup, la courbe tendra plutôt vers une droite, plutôt vers une parabole dans le cas contraire.

Que cette courbe relie les sommets de rebonds, les sommets d’enveloppes, ou soit tangente aux trajectoires, importe peu. Dans tous les cas, elle exprime un même taux de dégressivité. Cependant, les  courbes qui nous intéresseront ici sont celles qui permettent de construire une suite de rebonds. Cela commence par les enveloppes.

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  1. Dégressivité proportionnelle
  2. Dégressivité parabolique
  3. Astuce
  4. Le taux de 0.5
  5. Le taux de √0.5

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Dégressivité proportionnelle

Ayant choisit la hauteur d’un rebond initial Ro et une longueur maximale de rebonds LimR, on trace le rectangle dans lequel s’inscrira la suite, puis sa diagonale A.

Cette diagonale forme une première courbe de dégressivité. On choisit ensuite la longueur de Ro et on trace son enveloppe. La diagonale débute donc du sommet d’une verticale de l’enveloppe, et coupe la verticale opposée en deux segments inégaux.

Le rapport entre le segment inférieur et la hauteur totale de l’enveloppe indique le taux de dégressivité, qui varie selon que la longueur au sol de Ro.

On trace ensuite une nouvelle diagonale B, celle du rectangle qui reste après avoir déduit du premier l’enveloppe de Ro.

L’intersection de la diagonale A avec l’enveloppe initiale indique la hauteur du rebond suivant R1. Sa projection horizontale sur la diagonale B donne la longueur de R1.

On termine l’enveloppe de R1 . Un de ses cotés coupe la diagonale A. Cette intersection indique la hauteur du rebond suivant R2, et sa projection horizontale sur la diagonale B, la longueur de R2. On termine l’enveloppe, etc.

Improbable dans la réalité, cette construction simple conviendra, visuellement, à de nombreux rebonds animés, d’autant plus si le plan n’inclut pas  la phase de roulement.


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Dégressivité parabolique

Cette option est préférable si on envisage une phase de roulement. Le principe de construction est le même que précédemment, à la courbure près des courbes de dégressivité. On y parvient en s’aidant des rapports indiqués sur les bords pour placer des points directeurs…

… qui servent à tracer les courbes, non à déterminer la hauteur des rebonds.

Les enveloppes tracées, reste à inscrire à l’intérieur les paraboles, une à une.


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Astuce

Si on opte pour une dégressivité parabolique des rebonds (CrL = CrT), voici une astuce pour dessiner rapidement une suite de paraboles. Après avoir choisit un taux de dégressivité, on reporte sur la parabole initiale la hauteur de chaque rebond en partant du sommet.

On ramène ensuite chaque portion de parabole au sol…

… puis…

… on les déploie au sol, enchainées les unes aux autres.

Un tracé parfait de la première parabole permettrait d’obtenir la juste longueur maximale des rebonds. Si on n’est pas très sûr, on peut la calculer au préalable.

Lim Rebonds =  lo/(1-CrL)

Et en cas de dégressivité proportionnelle?

Si la dégressivité est proportionnelle (CrL = CrH), les racines remontent cette fois le long de deux droites tirées entre elles et le sommet de la parabole.

Il n’est pas plus simple de redessiner ainsi chaque parabole que de les inscrire directement dans une suite d’enveloppes correctement réparties.  L’astuce ne vaut donc que pour les suites à dégressivité parabolique.


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Le taux de 0,5

Ce cas est intéressant pour ses évidentes proportions.

La division des hauteurs est une suite de divisions par 2. Si le rebond initial fait 10 cm, les suivants feront 5cm, 2,5cm, 1,25cm, 0,625 cm, …etc. On y arrive sans calculatrice.

Le cumul des longueurs n’est pas plus difficile à obtenir. Rappelons la formule d’une limite de rebonds depuis une longueur initiale

LimR = Longueur rebond initial /(1-Cr)

Si un rebond initial fait 1 mètre, la limite fera, en cas de dégressivité proportionnelle

1 / (1-0,5) = 2 mètres

Bref, le double. Autrement dit, quelle que soit la longueur prévue pour l’ensemble des rebonds, on obtient celle du premier rebond, lo, en la divisant par 2,puis l1 en divisant le reste par 2, l2 en divisant le reste par 2, etc.


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Et avec un taux de √0,5 ?

En cas de dégressivité parabolique, le rapport est moins évident.

1 / (1-√0,5) = 3,41 mètres

Cependant, si la première longueur fait 1m, la seconde fera…

1 x √0,5 = 0,707 m

… et le cumul des deux premières longueurs fera…

1 + 0,707 = 1,707m

… soit la moitié de 3,41m.

Autrement dit, la limite des rebonds fait le double, non de la première, mais des deux premières longueurs. Quelque soit la longueur prévue pour l’ensemble des rebonds, on obtient l1 en la divisant par 2, l3 en divisant le reste par 2, l5 en divisant le reste par 2, etc.

Notons que, dans ce cas, lo est le double de l3, l1 le double de l3, l2 le double de l4, etc… Bref, la longueur est divisée par deux, non à chaque rebond, mais tous les deux rebonds. C’est logique : multiplier 2 x par 0,5 revient à multiplier par 0,5, donc à diviser par 2.

Les cas de figure présentant un taux de dégressivité de 0,5 ou √0,5 ne sont que des modèles de base. L’idéal est de savoir répartir les paraboles sur une longueur donnée, quel que soit le taux de dégressivité.

FIN DU CHAPITRE

© Christophe Clamaron 2020

 

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