REBONDS – SUITES SUR PENTES – Méthode complète

          

MÉTHODE COMPLÈTE

Comme pour les suites horizontales, l’idée est de conformer un nombre de rebonds à une distance donnée. Mais cette fois, la solution géométrique offerte par la courbe de dégressivité n’est plus utilisable. Il faut trouver les taux de dégressivité des hauteurs et des durées, puis calculer pas à pas chaque rebond.

Les cas présentés insèrent des suites complètes de rebonds sur une longueur et une pente toujours identique (  L = 20cm  et  θ = 6,8° ). On ne s’intéresse pas à l’échelle du tracé, la durée du rebond initial  Ro est donc par défaut  to = 2t.

Abréviations

L est l’amplitude maximale du mouvement (ici, 20cm)

E et S sont les entrée et sortie du rebond initial Ro

LimTR est la durée de la phase de rebond depuis E

tLimR est la durée de la phase de rebond depuis le 0 sur pente

LimLR est la longueur de la phase de rebond depuis E

dLimR est la distance de la phase de rebond depuis le 0 sur pente

Distance en… ou durée en… = depuis le 0 sur pente.

Formules utilisées

Nous n’indiquons que les calculs préalables nécessaires à la mise en place du mouvement global. Le calcul des hauteurs et des durées de chaque rebond et de leurs longueurs aux impacts est effectué à l’aide d’un tableur.

La logique générale de calcul présentée ici sera précisée au cas par cas.

Détermination de l’accélération par double projection, verticale et perpendiculaire, de 2 fois la hauteur initiale ho sur la pente d’angle θ.

2ho.sinθ

Durées en E et en S

tE et tS = lo / 2a +/- 1t

Distances en E et en S

dE et dS = ½ atE² et S²

Durée en limite des rebonds

tLimR = ( 2.dLimR / a )

Durée de la phase de rebonds

LimTR = tL – tE

Taux de dégressivité des durées

CrT = (LimTRto)/(LimTR)

Taux de dégressivité des hauteurs

CrH = CrT²

      1   –   2   –   3   –   4   –   5   –   6   –   7   –   8   –   9   –   10     

Le mouvement commence de l’aval vers l’amont. En amont est fixée la limite des rebonds, en aval, l’entrée E du rebond initial Ro auquel on donne les dimensions suivantes : hauteur ho = 3cm, longueur lo = 10,9cm.

Les proportions de Ro déterminent la position du 0 sur pente.

Accélération

a = 2h.sinθ = 2 . 3 . sin6,8° = 0,71cm/t²

Durée en E

tE = (lo/2a) + 1t = (10,9/2.0,71)+1 = 8,67t

Distance en E

dE = ½ a.tE² = ½ (0,71).(8,67)² = 26,72cm

Le 0 sur pente se trouve donc hors champs.

Distance en limite des rebonds

dLimR = dE – L = 26,72 – 20 = 6,72cm

Le report des impacts se fait donc en calant la règle à 6,72cm en début de pente.

Durée en limite des rebonds

tLimR = √(2.dLimR / a) = (2 . 6,72 /0,71 ) = 4,35t

Durée de la phase de rebonds

LimTR = tL – tE = 8,67 – 4,35 = 4,32t

Taux de dégressivité des durées

CrT = ( LimTR – 2to ) / LimTR = (4,32 – 2)/4,32 = 0,54

Taux de dégressivité des hauteurs

CrH = CrT²  =  0, 54² = 0,29


      1   –   2   –   3   –   4   –   5   –   6   –   7   –   8   –   9   –   10     

Le mouvement commence de l’aval vers l’amont. En début de pente est fixé le 0 sur pente, et en fin de pente l’entrée E de Ro.

Si 0 est situé d’avance, c’est lui qui détermine les proportions de Ro. Si on maintient la longueur de Ro à 10,9cm, il faut donc trouver sa hauteur. Pour cela, on commence par trouver la durée en E (c’est à dire depuis le 0 sur pente)

Durée en E

tE = to.L[(1 + √(1-lo/L)] / lo  =  2s . 20 [( 1+ (1-10,9/20)] / 10,9  =  6,15t

Accélération

a = 2L/tE²  =  2.20 / 6,15²  =  1,06cm/t²

Hauteur du rebond initial Ro

Si        a  =  2ho.sinθ       alors

ho  =  a/2.sinθ  =  1,06 / 2sin6,8° =  4,5cm

La hauteur trouvée, on peut reprendre la logique générale de calcul. On commence par vérifier les mesures précédentes.

Accélération

2ho. sinθ  =  2. 4,5. sin6,8° = 1,06cm/t²

Durée en E

√(2L/a)  =  (2.20/1,06) = 6,15t

La limite des rebonds est fixée à 4 cm de 0, avant l’inversion du mouvement.

Durée en limite des rebonds

tLimR = √(2dLimR/a)  =  √(2.4/1,06) = 2,75t

Durée de la phase de rebonds

LimTR = tL – tE  =  6,13 – 2,75 = 3,38t

Taux de dégressivité des durées

CrT = ( LimTR – 2to ) / LimTR  = (3,38 – 2)/ 3,38 =0,41

Taux de dégressivité des hauteurs

CrH = CrT²  = 0,41² = 0,17


      1   –   2   –   3   –   4   –   5   –   6   –   7   –   8   –   9   –   10     

Idem cas n°2 avec une différence :

la limite des rebonds est le 0 sur pente. On peut donc dire d’emblée que la durée de la phase de rebond est de 6,13t.

Taux de dégressivité des durées

CrT = ( LimTR – 2to ) / LimTR  =  ( 6,13 – 2t ) / 6,13 = 0,67

Taux de dégressivité des hauteurs

CrH = CrT² = 0,67² = 0,45


     1   –   2   –   3   –   4   –   5   –   6   –   7   –   8   –   9   –   10     

Idem cas n°2 avec une différence :

la limite des rebonds est après et non avant l’inversion du mouvement. Au lieu de déduire 2,75t de la durée en entrée E de Ro, on l’ajoute.

Durée de la phase de rebonds

LimT =  tL + t =  6,13 + 2,75  =  8,87t

Taux de dégressivité des durées

Cr( LimTR – 2to ) / LimTR  =  (8,87 – 2)/8,87  =  0,77

Taux de dégressivité des hauteurs

Cr =  CrT²  =  0,77²  =  0,6


      1   –   2   –   3   –   4   –   5   –   6   –   7   –   8   –   9   –   10     

Idem cas n°2 avec une différence :

la limite des rebonds est sur E. Elle vaut donc deux fois la durée en E depuis 0.

Durée de la phase de rebonds

LimTR = tL + tE = 6,13 + 6,13 = 12,26t

Taux de dégressivité des durées

CrT = ( LimTR – 2to ) / LimTR = (12,26 – 2)/12,26 = 0,84

Taux de dégressivité des hauteurs

CrH = CrT² = 0,84² = 0,7

Ce cas offre le plus grand coefficient de restitution dans une longueur imposée.


      1   –   2   –   3   –   4   –   5   –   6   –   7   –   8   –   9   –   10     

 

On a déplacé le plus loin possible la limite des rebonds, on fait désormais remonter le rebond initial vers le 0 sur pente. On centre le rebond, autrement dit, la projection verticale du sommet du rebond au sol est à 10cm des extrémités. La projection perpendiculaire, qui indique la durée médiane, est à  ½ a de la projection verticale.

Distance en M

dM = ½ L – ½ a  =  (20 – 1,06) / 2  =  9,47cm.

Durée en E et S

tE et tS = (2. dM /a) +/- 1t  =  √(2.9,47/1,06) +/- 1  =  5,22t (E)   et   3,22t (S)

Distances en E et S

dE et dS  =  ½ a.tE²  et  S²  =  ½ 1,06. 5,22²  et  3,22² =  14,44cm (E)  et  5,49cm(S)

Durée de la phase de rebonds

LimTR = tL + tE  =  6,13 + 5,22  =  11,35t

Taux de dégressivité des durées

CrT = ( LimTR – 2to ) / LimTR  =  (11,35 – 2) / 11,35  =  0,82

Taux de dégressivité des hauteurs

CrH = CrT² =  0,82² =  0,67


     1   –   2   –   3   –   4   –   5   –   6   –   7   –   8   –   9   –   10     

On remonte le rebond initial, de sorte que le 0 sur pente = S

Durée de la phase de rebonds

LimTR  =  tL+ t=  6,13 + 2  =  8,13t

Taux de dégressivité des durées

CrT  =  ( LimTR – 2to ) / LimTR  =  (8,13 – 2)/8,13  =  0,75

Taux de dégressivité des hauteurs

CrH  =  CrT² =  0,75² =  0,57


     1   –   2   –   3   –   4   –   5   –   6   –   7   –   8   –   9   –   10     

C’est le cas du rebond initial formé d’une parabole fermée.

Durées en E et en S

tE et tS = ±1t

Durée de la phase de rebonds

LimTR  =  tL + tE  =  6,13 + 1  =  7,13t

Taux de dégressivité des durées

CrT  =  ( LimTR – 2to ) / LimTR  =  (7,13 – 2)/7,13  =  0,71

Taux de dégressivité des hauteurs

CrH  =  CrT²  =  0,71²  =  0,51


     1   –   2   –   3   –   4   –   5   –   6   –   7   –   8   –   9   –   10     

La parabole s’ouvre de nouveau de sorte que le 0 sur pente = E. La limite de rebonds = 6,13t.

Taux de dégressivité des durées

CrT  =  ( LimTR – 2to ) / LimT =  (6,13t– 2t)/6,13  =  0,67

Taux de dégressivité des hauteurs

CrH  =  CrT² =  0,67²  =  0,45


     1   –   2   –   3   –   4   –   5   –   6   –   7   –   8   –   9   –   10     

C’est le cas inverse du cas n°1.

E se trouve en aval de la pente, LimR en amont. On garde la même hauteur pour Ro, 3cm, donc la même accélération, 0,71cm/t². La longueur de Ro est cette fois de 9,1 cm.

Durée en E

tE  =  (lo/2a) – 1t  =  (9,1 /2.0,71) -1  =  5,41t

Distance en E

dE  =  ½ atE² = ½ 0,71 . 5,41² = 10,38cm

Distance en limite rebonds

dLimR  =  dE + L  =  10,38 + 20  30,38cm

Durée en limite rebonds

tLimR= √(2.dLimR/a) = (2 . 30,38/0,71)  =  9,25t

Durée de la phase de rebonds

LimTR  =  tL– t=  9,25 – 5,41 = 3,84t

Taux de dégressivité des durées

(tLimR–2to)/tLimR  =  (3,84 – 2t)/3,84 = 0,48

Taux de dégressivité des hauteurs

CrH  =  CrT²  =  0,48²  0,23

FIN DE CHAPITRE

© Christophe Clamaron 2020

 

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