REBONDS – SUITES HORIZONTALES – Exemples

          

EXEMPLES

Avant-propos

Nous avons vu qu’en théorie, le taux de dégressivité des longueurs devait se situer entre celui des hauteurs et celui des durées, mais qu’en pratique, on pouvait le caler soit sur le premier en cas de faible dégressivité, soit sur le second si on envisageait une phase de roulement.

Le temps de quelques exemples, nous allons appliquer scrupuleusement la théorie, autrement dit, appliquer aux longueurs des taux intermédiaires, le but étant de nous entrainer à jongler avec les formules de suites géométriques.

Les exemples proposés ne concernent que la construction de trajectoires. Ils ne partent pas de dimensions réelles mais de mesures sur le papier, sans considération d’échelle. On ne peut donc pas calculer de durées. Mais il suffira de convenir ensuite d’une échelle pour les obtenir.

On suppose travailler sur un format 8F 16/9ème (20cm x11,2cm).

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EXEMPLE 1

On complète une suite en amont et en aval du rebond Ro d’une hauteur ho de 7cm, d’une amplitude lo de 10 cm.

Le taux de dégressivité des hauteurs est de 0,7.

La dégressivité des longueurs doit se situer entre 0,7 et √0,7 (0,84). Disons 0,77.

On calcule le rebond en amont…

h -1 = 7cm / 0,7 = 10cm

l -1 = 10cm/0,77 = 13cm

… en aval.

h1 = 7 cm . 0,7 = 4,9cm

l1 = 10cm . 0,77 = 7,7cm

l-1 et l 1 dépassent des marges, les calculs sont terminés.


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EXEMPLE 2

On distribue 2 rebonds sur 15 cmRo a une hauteur de 7cm.

La dégressivité des hauteurs est de 0,5.

h1 = 7 cm .0,5 = 3,5cm

La dégressivité des longueurs doit se situer entre 0,5 et √0,5 (0,71), disons 0,6.

On en déduit la longueur du rebond initial…

lo = SomL.(1- Cr)/(1-Crn+1)

SomL = somme des longueurs = 15cm

lo = 15cm.(1–0,6)/(1–0,62) = 9,4cm

…puis celle du suivant

l1 = 9,4cm . 0,6 = 5,6cm

La somme des deux vaut bien  15cm.

Dans un cadre de 20cm de large, les marges en amont et en aval font 2,5cm.

On complète en amont

h-1 = 7cm / 0,5 = 14cm

l-1 = 9,4cm/0,6 = 15,6cm

en aval

h2 = 3,5cm .0,5 = 1,8cm

l2 = 5,6cm . 0,6 = 3,4cm

l-1 et l2 dépassent des marges, les calculs sont terminés.


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 EXEMPLE 3

On distribue 3 rebonds sur 15 cm. La hauteur de Ro est de 7cm.

La dégressivité des hauteurs est de 0,4.

h1 = 7 cm .0,4 = 2,8cm

h2 = 2,8cm .0,4 = 1,1cm

La dégressivité des longueurs doit se situer entre 0,4 et √0,4 (0,63), disons 0,5.

On en déduit la longueur du 1er rebond…

lo = SomL.(1- Cr) / (1- Crn+1)

SomL = somme des longueurs = 15cm

lo = 15cm.(1– 0,5) / (1– 0,53) = 8,6cm

…puis celles des deux suivants

l1 = 8,6cm . 0,5 = 4,3cm

l2 = 4,3cm . 0,5 = 2,1cm

La somme des longueurs est bien égale à 15cm.

On complète en amont…

h-1 = 7cm / 0,4 = 17,5cm

l-1 = 6,8cm/0,5 = 17,1cm

…en aval.

h3 = 2,5cm . 0,4 = 0,4cm

l3 = 3,4cm . 0,5 = 1,1cm

La dégressivité est trop forte pour remplir à droite en ajoutant des rebonds. Soit on admet de faire rouler la balle, soit on recadre en coupant R3 en plein mouvement. En augmentant par exemple la marge de 1,8cm à gauche (2,5cm + 1,8cm = 4,3cm), et en la réduisant d’autant à droite (2,5cm – 1,8cm = 0,7cm).


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EXEMPLE 4

On distribue 3 rebonds sur 15 cm. La hauteur de Ro est de 7cm.

La dégressivité des hauteurs est de 0,7.

h1 = 7 cm .0,7 = 4,9cm

h2 = 4,9cm .0,7 = 3,4cm

La dégressivité des longueurs se situe entre 0,7 et √0,7 (0,84), disons 0,77.

On en déduit la longueur du 1er rebond…

lo = SomL.(1- Cr)/(1-Crn+1)

SomL = somme des longueurs = 15cm

lo = 15cm.(1–0,77)/(1–0,773) = 6,3cm

…puis celles des 2deux suivants

l1 = 6,3cm . 0,77 = 4,9cm

l2 = 4,9cm . 0,77 = 3,8cm

La somme des longueurs est bien égale à 15cm.

On complète en amont…

h-1 = 7cm / 0,7 = 10cm

l-1 = 6,3cm/0,77 = 8,2cm

en aval …

h3 = 3,4cm . 0,7 = 2,4cm

l3 = 3,8cm . 0,77 = 2,9cm

l-1 et l3 dépassent des marges, les calculs sont terminés.


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EXEMPLE 5

On distribue 5 rebonds sur 15 cm. La hauteur de Ro est de 7cm.

La dégressivité des hauteurs est de 0,8.

h1 = 7 cm . 0,8 = 5,6cm

h2 = 5,6cm . 0,8 = 4,5cm

h3 = 4,5cm . 0,8 = 3,6cm

h4 = 3,6cm . 0,8 = 2,9cm

La dégressivité des longueurs doit se situe entre 0,8 et √0,8 (0,89), disons 0,85.

On en déduit la longueur du 1er rebond…

lo = SomL.(1- Cr) / (1-Crn+1)

SomL = somme des longueurs = 15cm

lo = 15cm.(1–0,85) / (1–0,855) = 4cm

…puis celles des 4 suivants

l1 = 4cm . 0,85 = 3,4cm

l2 = 3,4cm . 0,85 = 2,9cm

l3 = 2,9cm . 0,85 = 2,5cm

l4 = 2,5cm . 0,85 = 2,1cm

La somme des longueurs est bien égale à 15cm (à 1mm près).

On complète en amont…

h-1 = 7cm / 0,8 = 8,8cm

l-1 = 4cm / 0,85 = 4,8cm

…en aval

h5 = 2,9cm . 0,8 = 2,3cm

l5 = 2,1cm . 0,85 = 1,8cm

h6 = 2,3cm . 0,8 = 1,8cm

l6 = 1,8cm . 0,85 = 1,5cm


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EXEMPLE 6

Complexifions un peu l’exercice.

On distribue 4 rebonds sur 15 cm et la hauteur de Ro est de 7cm.

On fixe également la hauteur du dernier rebond R3 : 3cm.

Il faut d’abord trouver le taux de dégressivité des hauteurs

CrH = (hn/ho)1/n

CrH= (3cm/7cm)1/3 = 0,75

On en déduit les hauteurs intermédiaires

h1 = 7 cm . 0,75 = 5,3cm

h2 = 5,3cm . 0,75 = 4cm

Fixons un taux médian pour les longueurs

CrL = (0,75 + √0,75)/2 = 0,81

lo = SomL.(1- CrL) / (1-CrLn+1)

= 15cm.(1–0,81) / (1–0,814) = 5cm

On en déduit

l1 = 5cm . 0,81 = 4,1cm

l2 = 4,1cm . 0,81 = 3,3cm

l3 = 3,3cm . 0,81 = 2,7cm

Somme des longueurs = 15cm

On complète en amont …

h-1 = 7cm / 0,75 = 9cm

l-1 = 4cm / 0,81 = 6,2cm

… en aval

h4 = 3cm . 0,75 = 2,2cm

l4 = 2,7cm . 0,81 = 2,2cm

h5 = 2,2cm . 0,75 = 1,7cm

l5 = 2,2cm . 0,81 = 1,8cm


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EXEMPLE 7

Soit un rebond initial de 8 cm et une distance de rebonds au sol de 16cm .

Le taux de dégressivité des hauteurs est de 0,5.

Pour les longueurs, on en choisit un entre 0,5 et √0,5 (0,71). Disons 0,6.

Il est possible de déterminer une longueur initiale à partir d’un nombre de rebonds, mais il faut pour cela considérer une hauteur au dernier rebond d’environ 1cm, et donc, connaitre l’échelle du dessin.

Par contre, on peut déterminer une longueur initiale depuis une limite asymptotique.

lo = LimL.(1- CrL)

lo = 16cm . ( 1 – 0,6) = 6,4 cm

En appliquant aux hauteurs et aux longueurs leur taux respectif, on obtient :

Ro R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8

Hauteurs en cm    8    4    2    1    0,5    0,25    0,13    0,6    0,3    …etc

Longueurs en cm    6,4    3,8    2,3    1,4    0,8    0,5    0,3    0,2    0,1

Astuce de tracé

Les hauteurs étant relatives au sol, on les reporte en calant le 0 de la règle sur le 0 de l’axe des hauteurs (le sol), et on les marque où elles se lisent.

Chaque longueur étant relative à celle qui la précède, leur report nécessite à chaque fois de déplacer la règle. On peut retrouver la facilité de report des hauteurs en calculant des distances relatives à la limite asymptotique.

Lim L∞ .CrL = 16 cm. 0,6 = 9,6 cm

9,6 cm. 0,6 = 5,8 cm …etc

Ro R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8

Distances depuis LimL∞   16      9,6     5,8      3,5        2,1      1,25    0,75    0,45    0,25    …etc

Le report de ces longueurs se faisant de B vers A, il faut retourner la règle (ou le dessin).

Note

Nous avons vu qu’avec un taux de dégressivité de 0,6, la distance de roulement valait 0,01 fois celle des rebonds, soit 1,6 millimètres.


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EXEMPLE 8

Soit un rebond initial Ro de 8 cm de haut et une distance maximale au sol de 16 cm, 10cm pour la phase de rebonds (limite asymptotique) et 6cm pour la phase de roulement.

Le taux des hauteurs est de 0,5, donc celui des durées de √0,5.

La longueur de roulement permet d’admettre un taux des longueurs égal à celui des durées.

On détermine une longueur initiale

lo    =    LimL. ( 1 – CrL)

=    10cm . ( 1 – √0,5)    ≈ 2,95 cm

En appliquant aux hauteurs et aux longueurs leur taux respectif, on obtient :

Ro R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7

Hauteurs en cm    8    4    2    1    0,5    0,25    0,1    0,05

Longueurs en cm    2,9    2,07    1,5    1,05    0,75    0,5    0,35    0,25

Distances depuis LimL∞    en cm    10    7,05    5,0    3,55    2,5    1,75    1,25    0,9Comme on n’a pas définit d’échelle, le nombre de rebonds dépend ici du plus petit que l’on peut tracer.


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EXEMPLE 9

Pour ce dernier exemple, nous allons considérer l’échelle du dessin et partir de mesures réelles. Au lieu de définir une longueur asymptotique, nous pouvons fixer une longueur maximale qui soit celle au dernier rebond, car nous savons qu’il fera 1cm ,  ± 0,2cm.

Soit un rebond initial Ro de 1,25m et une distance au dernier rebond de 3m.

Le taux de dégressivité est de 0,5 pour les hauteurs, celui des longueurs vaut celui des durées.

On calcule le nombre n de rebonds.

n = log (hn / ho ) /log CrH

= log ( 0,01m/1,25m) /log 0,5 = 6,96

On doit arrondir à 7 rebonds en plus de Ro.

On détermine ensuite une longueur initiale.

lo = Somln .(1- CrL)/(1 – CrLn+1)

= 3m . ( 1 – √0,5)/(1 – √0,5 7+1 ) = 0,94 m

En appliquant aux hauteurs et aux longueurs leur taux respectif, on obtient :

Ro R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7

Hauteurs en m   1,25    0,63   0,31    0,16    0,08    0,04    0,02    0,01

Longueurs en m    0,94    0,66    0,47    0,33     0,23    0,17    0,12    0,08

Ayant considéré cette fois la distance effective des rebonds, on ne peut pas situer les impacts relativement à leur limite asymptotique. Cependant, on peut les situer relativement à l’origine du mouvement en faisant un cumul de longueurs.

I1 = lRo

l2 = lRo + lR1

l3 = lRo + lR1, + lR2 …etc

Ro R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7

Distances depuis le début des rebonds    0,94    1,60    2,07    2,40    2,63    2,80    2,92    3,00

Reste à trouver l’échelle pour un format 8F. On intègre la phase de roulement, disons 1 mètre.

Longueur réelle du mouvement = rebonds + roulement

= 3m + 1m = 4m

Échelle = 16cm / 4m = éch 4

Longueur papier du mouvement = 3m x 4 + 1m x 4

= 12cm + 4cm = 16 cmOn peut cette fois traiter les durées.

Pour 7 rebonds en plus du rebond initial, la durée est de

Somtn = Uo .(1 – CrU n+1) / (1 – CrU)

= 1. (1- 0,57+1) / (1 – √0,5) = 3,2 s

On calcule la vitesse en fin de rebonds…

v = L rebonds / T rebonds

= 12 cm / 3,2s = 3,75cm/s

… puis la durée de la phase de roulement…

t = 2d/v

= 2.4cm/ (3,75cm/s) = 2,13s (51p)

… enfin l’accélération pour la répartition des phases.

a = v/t

= (3,75cm/s)/2,13s = 1,76 cm/s²

(0,0031cm/image² )

Si la répartition des phases peut être faite à la main sur les paraboles, elle devient difficile pour la phase de roulement. Soit on s’en remet à un logiciel, soit on ajuste le pas (nombre d’images par phase) à mesure que la balle ralentit.

FIN DU CHAPITRE

© Christophe Clamaron 2020

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