PARABOLES DE REBONDS
- Préambule
- Formes de l’équation du second degré
- Vitesse et angle au sol d’un rebond
- Formules du rebond
Préambule
De toutes les forces susceptibles d’agir sur une balle qui rebondit, certaines ont un effet sensible, d’autres négligeable. Ce préambule propose un tour d’horizon des notions à connaitre pour bien en parler.
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Les quatre forces
Une balle lancée en l’air est soumise à quatre forces : son poids, qui l’attire vers le bas, sa portance, qui s’oppose à sa chute, sa force propre, qui la fait avancer, et sa traînée, qui la freine.
La force propre d’un avion est la poussée de ses réacteurs.
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La vitesse de lévitation
Mises en rapport, ces quatre forces, qui n’agissent pas toujours au même moment ni avec la même intensité, dessinent sa trajectoire. Une balle tirée vigoureusement peut sembler aller en ligne droite si sa vitesse initiale dépasse sa vitesse de lévitation, vitesse au-delà de laquelle l’influence du poids sur la trajectoire est négligeable. Très vite cependant, l’influence de la gravité se fera sentir.
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La distance intrinsèque
Merci à Christophe Clanet pour ses explications
L’air empêchera également une balle lancée de dépasser une certaine distance à l’horizontale. Pour le comprendre, il suffit de lancer devant soi un ballon de baudruche. Lancé avec modération, il fera peut-être 1m à l’horizontale avant de tomber. Lancé plus fort, il fera peut-être 1,20m. Beaucoup plus fort, peut-être 1,30m. Quand le ballon atteint sa distance intrinsèque, pousser plus fort ne sert plus à rien.
La vitesse de lévitation d’un ballon de basket est de 30 m/s environ. S’il pouvait atteindre une telle vitesse après un rebond au sol, il s’élèverait à 45m en 3s, le temps qu’il faut à un parachutiste pour sentir la résistance de l’air. Lors d’un simple match, ses rebonds ne lui permettent ni d’atteindre une telle vitesse, ni de subir de frottements notables en dehors des contacts. Sa traînée et sa portance sont donc négligeables.
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L’effet Magnus
La parabole est une forme constante et symétrique, qui ne varie que dans ses proportions. Quand on observe attentivement certaines chronophotographies, on constate cependant que cette symétrie n’est pas toujours respectée.
C’est dû à une rotation particulière de la balle, l’« effet Magnus », bien connu dans les jeux de balles pour tromper l’adversaire.
Cet effet étant difficilement prévisible, nous ne l’intégrons pas dans les modèles que nous allons proposer. A l’animateur d’en tenir compte comme bon lui semble.
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Vu l’impact très relatif que toutes ces forces exercent sur un rebond de balle, nous considérerons que sa trajectoire est une parfaite parabole, courbe qui ne dépend que de la vitesse initiale de la balle, de son angle de rebond, et de la gravité.
Formes de l’équation de la parabole
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Formes mathématiques
La parabole est le tracé d’une équation du second degré. Plusieurs formules permettent de la calculer, mais toutes découlent les unes des autres. Le choix dépend des informations dont on dispose pour calculer tel ou tel de ses aspects, sa hauteur sur l’axe y, la position du sommet, de ses « racines », c’est à dire ses contacts avec le sol, etc… Comme nous ne les utiliserons pas telles quelles, nous nous contentons de les signaler.
Forme standard ou développée
y = ax² + bx + c
Forme factorisée
y = a(x-x1)(x-x2)
Forme canonique
y = a (x – e ) ² – h
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Forme cinématique
La forme cinématique est une autre adaptation de la forme standard et de ses dérivées. Simplement, on a substitué aux variables générales des variables relatives à l’étude de mouvements.
y = ax²+bx + c
devient
d = 1/2at² + vo.t + do
souvent présenté dans un ordre logique
d = do + vo.t + d 1/2at²
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Concernant les variables
d est la distance
a est l’accélération
t est le temps
vo est la vitesse initiale
do est la distance initiale
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Les formules cinématiques de base calculent des durées, des distances ou des vitesses, variables ou non, de déplacements rectilignes. Un mouvement parabolique nécessite de les adapter de manière à combiner un déplacement en accélération constante en hauteur, et un déplacement en vitesse constante en longueur.
La corrélation entre la hauteur et la longueur de la parabole s’effectue grâce à la vitesse initiale de la balle en entrée de rebond, et par l’angle au sol.
Vitesses et angle au sol d’un rebond
La vitesse horizontale vx, vitesse constante, s’obtient en divisant la base de la parabole (distance entre l’entrée E et la sortie S) par la durée du rebond.
vx = dES /t
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La vitesse verticale vy s’obtient par l’une des formules suivantes.
vy = g.t/2
vy = 4h /t
vy² = 8g.h
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La vitesse initiale vo est celle propre à la balle. On peut l’obtenir à l’aide des deux premières grâce au théorème de Pythagore…
vo² = vy² + vx²
… ou bien, si on connaît l’angle de rebond, par la trigonométrie.
vo = vx /cosθ
vo = vy /sinθ
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On peut aussi chercher l’angle du rebond depuis des vitesses données
Si vo = vx /cosθ et vo = vy /sinθ
alors
vx /cosθ = vy /sinθ
donc
vx = vy .cosθ/sinθ et vy = vx.sinθ/cosθ
autrement dit
vx = vy /tgθ et vy = vx .tgθ
et, dans les deux cas,
θ = arctg (vy / vx)
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Simple, non?
Formules du rebond
Avec l’angle de rebond et la vitesse initiale, on peut calculer
la durée maximale d’un rebond
t = 2v.sinθ/g
sa durée au sommet
t = v.sinθ/g
sa hauteur maximale
h = v.sinθ.t/4
h = (v.sinθ)²/2g
h = l.tgθ/4
sa longueur maximale
l = 4h/tgθ
l = v².sin2θ/g
l = v.cosθ.t
et la hauteur d’un point quelconque selon une longueur
h = tgθ.d – ½ g.(l / v.cosθ)²
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Avec la hauteur, on peut calculer
la durée maximale d’un rebond
t = √(8h/g)
sa durée au sommet
t = √(2h/g)
sa vitesse maximale
v = 4h/t.sinθ
v = g.t/2.sinθ
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© Christophe Clamaron 2020