REBONDS – FORMULES – Suites géométriques

          

SUITES GÉOMÉTRIQUES

     0   –   1   –   2   –   3   –   4   –   5   –   6     

  1. Calcul d’un terme
  2. Somme d’une suite de termes
  3. Limite asymptotique d’une suite de termes
  4. Identifier le coefficient de réduction
  5. Identifier un terme initial
  6. Logarithme

  Uo   ?   U1   ?   U2   ?   U3   ?   U4   ?   etc.

      .q           .q            .q            .q           .q              –


     0   –   1   –   2   –   3   –   4   –   5   –   6     

Calcul d’un terme « U »

Un = Un-1 . CrU        ou        Un = Uo . CrUn

Dans une suite de rebonds, U devient H hauteurs

L longueurs

T durées

V vitesses

A accélérations

La raison q devient le taux de dégressivité, dont l’abréviation retenue est Cr (pour coefficient de restitution). Chaque terme a son propre Cr.

Pour le calcul d’une hauteur, par exemple :

hn = hn-1 . CrH      ou      hn = ho . CrHn

Reste à définir le Cr selon le paramètre à calculer. Tous sont globalement corrélés.

Taux :

                   hauteurs              CrH = CrT²

                   durées                  CrT = CrH    ou     CrH1/2

                  longueurs             CrL = CrH       si       CrA = 1

                                                      CrL = CrT       si       CrA = 1,41

                    CrH > Cr> CrT           si résistance quelconque en x

                  vitesses                 CrVH = CrH / CrT = CrT²/CrT = CrT

                                                      CrVL = CrL / CrT

                   accélérations     CrAH = CrVH / CrT = CrH / CrT²

                                                       CrAL = CrVL / CrT = CrL / CrT²

Les formules suivantes intègrent le terme générique U. Il faut lui substituer le paramètre à calculer.


     0   –   1   –   2   –   3   –   4   –   5   –   6     

Somme d’une suite de termes « U »

SomUn = Uo .(1 – CrU n+1) / (1 – CrU)

Maintenant,

Si      n = ∞        alors      Cr → 0

autrement dit

(1 – Cr n+1) = 1

et sort de la formule. On obtient alors…


     0   –   1   –   2   –   3   –   4   –   5   –   6     

Limite asymptotique d’une suite de termes « U »

LimU∞ = Uo / (1 – CrU)


     0   –   1   –   2   –   3   –   4   –   5   –   6     

Identifier le coefficient de réduction (Cr)

                   depuis 2 termes successifs             CrU = Un / Un-1

                   depuis un nombre n de termes      CrU = (Uf /Uo) 1/n

                   depuis Uo et LimU                              CrU = (LimU∞Uo)/ LimU∞


     0   –   1   –   2   –   3   –   4   –   5   –   6     

Identifier le terme initial    Uo

             depuis un terme            Uo = Un /CrUn

             depuis une somme      Uo = SomUn .(1- CrU)/(1 – CrUn+1)

             depuis une limite          Uo = LimU.(1- CrU)


     0   –   1   –   2   –   3   –   4   –   5   –   6     

Logarithme

Il s’agit cette fois de trouver un nombre de rebonds entre deux extrêmes de hauteurs d’après un Cr déterminé. Dans d’autres formules, ce nombre de rebonds correspond à la puissance du Cr. Retrouver une puissance, c’est chercher un logarithme.

Si   23 = 8   alors   3   est le logarithme de   8   en base   2    →    3 = log28

Soit b le nombre dont on cherche le logarithme, a sa base, n la puissance. On peut dire :

Si        an = b          alors        nloga = logb

donc

n = logb / loga

Si      Un = Uo . CrUn        alors        n = log (Un / Uo ) /log CrU

Si     ho = 1m     et     hn = 0,01m

alors

n = log ( 0,01/1) /log 0,5 = 7 hauteurs

Le résultat n’est pas tout à fait 7, mais n ne peut être qu’un entier.

FIN DU CHAPITRE

© Christophe Clamaron 2020

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