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GESTION DES UNITÉS

Quand on divise des distances par des durées, l’unité est m/s. Cette unité dit concrètement que la vitesse est le résultat d’une distance divisée par une durée.

Il est parfois difficile de s’y retrouver quand, d’une équation complexe, le résultat est une banale unité. Comment, en additionnant des distances au produit de vitesses et de durées et d’accélérations avec des durées au ², parvient-on à un résultat en mètres ? Comment, en divisant une distance par une accélération, le tout réduit à la racine ², peut-on obtenir des secondes ?

Lors d’un calcul, on ne garde en général que les valeurs de chaque variable, et on attribue une unité au résultat final en espérant ne pas se tromper. Voyons ce qui se passe si on fait l’inverse: on oublie les valeurs, on ne considère que les unités.

d = d_o+ v_o.t + ½ a.t²

Traduite en unités, la formule des déplacements devient

m = m + (m/s).s + (m/s²).s²

Dans le second monôme, des mètres sont divisés par des secondes pour être de nouveau multipliés par des secondes. Les secondes s’annulent, reste des mètres. Dans le troisième monôme, des mètres sont divisés par des secondes² pour être de nouveau multipliés par des secondes². Les secondes² s’annulent, reste…

m = m + m + m

m = m

Le résultat est bien en mètres.

Voici d’autres exemples.

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FORMULE DU TEMPS

t = √ (2d/a)

s = √(m/(m/s²))

s = √(m.s²/m)

s = √s²

s = s

Le résultat est bien en secondes.

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FORMULE DE LA VITESSE

v = √ (2a.d)

m/s = √ ((m/s²) . m)

m/s = √ (m²/s²)

m/s = m/s

Le résultat est bien en mètres par seconde.

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FORMULE QUADRATIQUE

t = [-vo.t +/- √((vo.t)² – 2a.do)] / a

s = [(m/s).s +/- √(((m/s).s)² – (m/s²).m)] / (m/s²)

s = [ m +/- √(m² – (m²/s²)] / (m/s²)

s = [(m +/- √(m²/s²)]/(m/s²)

s = (m/s)/(m/s²)

Diviser un quotient par un autre, c’est le multiplier par l’inverse de l’autre

s = m.s²/m.s

s = s²/s

s = s

Le résultat est bien en secondes.

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Si je divise des mètres par des mètres ou des secondes par des secondes, les unités s’annulent. Nous n’obtenons plus ni mètres ni secondes, mais …

3m / 2m = 1,5

6s / 2s = 2

… un simple rapport entre deux valeurs.

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FIN DU CHAPITRE