REBONDS – MOUVEMENTS RECTILIGNES – Distances

           

DISTANCES

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  1. Première formule des distances: d (t) = 1/2 a.t²
  2. Variante : d (t) =  vo . t +-  1/2 a . t²
  3. Comment ça marche?
  4. Règle des signes
  5. Généralisation : d(t) = do + vo.t +- ½ a.t²
  6. Enchainement des cas de figure
  7. Enchainement calculé
  8. Seconde formule des distances: d = ½ (vo+v).t
  9. Troisième formule des distances: d = v²/2a – vo

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Première formule de distance

d (t) = 1/2 a.t²

 

Un cube avance à 1m/s². On relève sa position les 4 premières secondes.

d (1 seconde) = 1/2 (1m/s²) . 1² = 0.5m

d(2 secondes)   =    2m

d(3 secondes)     =  4,5m

d(4 secondes)    =     8m

Distinguons chaque étape.

La courbe obtenue entre les différentes distances est une parabole. Elle caractérise les équations du second degré.


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Variantes

d (t) =  vo . t + 1/2 a . t²

C’est la formule précédente, mais complétée pour calculer une distance au cours d’un mouvement. vo  correspond à la vitesse initiale, puisqu’on ne débute pas à 0. En la multipliant par la durée de l’accélération, on mesure d’abord une distance en vitesse constante ( vo . t ), puis on lui ajoute une distance en accélération constante (1/2 a . t²).

Un cube avance à une vitesse constante de 2m/s, puis se met à accélérer de  1m/s² pendant 4 secondes. On cherche les distances à chaque seconde d’accélération.

d (t) = (2m/s).t + 1/2 (1m/s²).t²

d (1 seconde ) = 2m + 0,5m = 2,5 mètres

d (2 secondes ) = 4m + 2m = 6 mètres

d (3 secondes ) = 6m + 4,5m = 10,5 mètres

d (4 secondes ) = 8m + 8m = 16 mètres

Attention à la lecture de ce schéma. Les phases bleues correspondent, ici, à des positions de calcul, non des positions effectives. On calcule d’abord une distance « comme si » le cube allait en vitesse constante jusqu’à la phase bleue, puis « comme si » il démarrait une accélération depuis la phase bleue.

Pour calculer une décélération, on soustrait une distance en accélération constante à une distance en vitesse constante.

d (t) =  vo . t – 1/2 a . t²

« Décélération » est un terme du langage courant que n’admet pas le physicien. Pour lui, quand la vitesse se réduit, c’est que l’accélération s’oppose à la vitesse, point. N’étant pas physicien, je m’autoriserai le terme qui est bien pratique.

Notre cube se déplace toujours à 2m/s, mais décélère de 1m/s² pendant 4 secondes.

d (t) = (2m/s).t  –  1/2 (1m/s²).t²

d (1 seconde ) = 2m – 0,5m = 1,5 mètres

d (2 secondes ) = 4m – 2m = 2 mètres

d (3 secondes ) = 6m – 4,5m = 1,5 mètres

d (4 secondes ) = 8m – 8m = 0 mètres

Le schéma ci-dessous ne correspond pas à celui en début de page.

Le cube décélère dans un sens, atteint une vitesse nulle, puis accélère dans l’autre sens.

Étonnant, non?


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Comment ça marche?

Le début d’un déplacement en accélération constante est toujours plus lent qu’un même déplacement de même durée  en vitesse constante. Mais la progression d’une vitesse constante étant linéaire, vo.t augmente plus lentement que 1/2a.t². En voici les conséquences .

Concernant la distance

Le cube décélère quand

1/2 a.t²   <    1/2 vo.t             ou            a.t²   <   vo.t

Il atteint sa distance maximale ( et s’arrête ) quand

1/2 a.t²    =    1/2 vo.t              ou           a.t² = vo.t

Le mouvement s’inverse en accélérant quand

1/2 a.t²     >     1/2 vo.t             ou         a.t²  > vo.t

Le cube revient à sa position initiale quand

1/2 a.t²  =  vo.t                     ou         a.t²   =  2 vo.t

Le cube dépasse (en sens inverse du départ) la position initiale quand

vo.t   <   1/2 a.t²                   ou         a.t²  > 2 vo.t

Le mouvement retour étant identique au mouvement aller, simplement inversé, une même position correspond à deux durées différentes.

Concernant la vitesse

Si la vitesse initiale est supérieure à       a.t       la vitesse finale est positive,

Si la vitesse initiale est égale à       a.t       la vitesse finale est nulle,

Si la vitesse initiale est inférieure à       a.t       la vitesse finale est négative.

En voulant calculer une décélération, nous avons retrouvé une accélération. Autrement dit, une valeur négative d’accélération ne suffit pas à définir une décélération.


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Règle des signes

A une certaine durée de décélération, la vitesse devient nulle. Au delà de cette durée, le mobile revient. La vitesse change de direction, et donc de signe.

La décélération dépend de l’opposition ou non des signes entre accélération et vitesse. Dans les schémas ci-dessus, la vitesse est positive vers la droite, négative vers la gauche. Ce n’est qu’un choix, on aurait pu dire l’inverse.


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Formule générale

On peut rendre cette formule encore plus générale en lui ajoutant le monôme do, qui indique une position initiale non nulle.

d(t) = do + vo.t + ½ a.t²

Il est utile pour cumuler des distances.

Cette formule générale permet de calculer tout type de distance.  Pour une simple vitesse constante, il suffit de dire que

do      et      a    valent   0,         et la formule devient        d  =  v.t

… et pour une simple accélération, que

do     et      vo    valent  0,       et la formule devient        d =  ½ a.t²


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Enchainement des cas de figures

Voici un enchainement de tous cas de figures possibles d’un véhicule qui démarre, accélère, ralentit, recule, etc. Nous ne savons pas si l’accélération d’un véhicule peut être constante, mais nous supposons que c’est le cas.

Avant tout calcul, voyons déjà le comportement que devrait avoir la courbe des vitesses selon le comportement du véhicule.

 

1 – Le véhicule est à l’arrêt

2 – Il démarre en accélérant

3 – Il avance en vitesse constante

4 – Il accélère de nouveau

5 – Il avance à vitesse constante

6 – Il décélère

7 – Il s’arrête

8 – Il démarre en accélérant à reculons

9 – Il recule à vitesse constante

10 – Il accélère de nouveau à reculons

11 – Il recule à vitesse constante et repasse devant le point de départ

12 – Il décélère

13 – Il s’arrête

14 – Il démarre en accélérant

15 – Il décélère

16 – Il s’arrête à sa position de départ.

L’enchainement des moments décrits précédemment donne, selon des valeurs choisies (voir plus bas), cette courbe des vitesses . D’autres valeurs changeraient les proportions, non le tracé général.


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Enchainement calculé

Nous allons maintenant calculer, pour chaque moment, la distance du véhicule par rapport à sa position de départ en choisissant des valeurs de durée, de vitesse, et d’accélération.

Lors de cumuls de distances,

do     et      vo   deviennent      d1, d2,  det  v1, v2,  v3   …etc.

Le véhicule est à l’arrêt            d1 =  0m

Il démarre en accélérant à 2m/s² pendant 4 secondes.

d2 =  ½ a.t² =  ½ (2m/s²).4s² = 16m

d2 est la distance initiale du moment suivant. En calculant la vitesse finale de ce moment, nous aurons la vitesse initiale du moment suivant.

v2 = a.t = (2m/s²).4s   = 8m/s

Le véhicule maintient sa vitesse pendant 4 secondes.

d3 = d2 + v2.t  = 16m + (8m/s).4s  = 48m

La vitesse finale d’une vitesse constante vaut sa vitesse initiale. Une vitesse constante est donc la vitesse initiale du moment suivant.

Le véhicule accélère à 2m/s² pendant 4 secondes.

d4 = d3 + v3.t + ½ a.t²  =  48m + (8m/s).4s + ½ (2m/s²).4s²  =  96m

Pour calculer une vitesse finale, on ajoute la vitesse initiale si elle n’est pas nulle.

Vitesse finale = v3 + a.t = 8m/s + (2m/s²).4s = 16m/s

Le véhicule maintient sa vitesse pendant 2 secondes.

d5 = d4 + v4.t   =   96m + (16m/s).2s   =   128m

Il décélère à -4m/s² pendant 4 secondes.

d6 = d5 + v5.t + ½ a.t² = 128m + (16m/s).4s + ½ (-4m/s²).4s² = 160m

 

Il s’arrête.                                                  d7 = 160m

Il repart en reculant, accélérant à -2m/s² (courbe concave = valeur négative) pendant 4 secondes. Sa vitesse initiale étant nulle, vo.t disparait de la formule.

d8 = d7  + ½ a.t² = 160m + ½ (-2m/s²).4s² = 144m

La courbe descend, la vitesse finale est donc négative.

Vitesse finale   =  a.t    =  (-2m/s²) . 4s = -8m/s

Le véhicule recule en maintenant sa vitesse pendant 4secondes.

d9 = d8 + v8.t  = 144m + (-8m/s).4s = 112m

Il accélère à -2m/s² pendant 4secondes.

d10 = d9 + v9.t + ½ a.t² = 112m + (-8m/s).4s + ½ (-2m/s²).4s² = 64m

Vitesse finale = v9 + a.t   = (-8m/s) + (-2m/s²). 4s  = – 16m/s

Il maintient sa vitesse pendant 4 secondes.

d11 = d10 + v10.t  = 64m + (- 16m/s).4s  = 0m

Il passe sa position de départ et continue…

… en décélérant à + 4m/s² pendant 4secondes.

 d12 = v11.t + ½ a.t² = (-16m/s).4s + ½ (4m/s²).4s² = -32m

Il s’arrête.                                               d13 = – 32m

Il repart en accélérant à 2m/s² pendant 4 secondes.

d14 = d13 + ½ a.t² = (-32m) + ½ (2m/s²).4s² = -16m

La courbe monte, la vitesse redevient positive.

Vitesse finale = a.t  = (2m/s²) . 4s = 8m/s

Le véhicule décélère à -2m/s² pendant 4 secondes.

d12 = d11 + v11.t + ½ a.t² = (-16m) + (8m/s).4s + ½ (-2m/s²).4s² = 0m

Il s’arrête.                                    d12 = 0 m


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Seconde formule

d = ½ (vo+v).t

vo= vitesse initiale,   v = vitesse finale

Cette formule permet de calculer une distance sans connaitre l’accélération. Elle se démontre ainsi.

Si     v =  vo + a.t        alors        a.t  =  v-vo

Si    a.t = v – vo       et       d = vo.t + ½ a.t ²

alors

d = vo.t + ½(v-vo). t

d = ½ (2vo +v – vo).t

d = ½ (vo+v).t

Comme la première formule de distances, c’est une formule générale qu’il suffit de simplifier pour obtenir une distance depuis ou jusqu’à l’arrêt, ou une distance en vitesse constante.

Distance depuis ou jusqu’à l’arrêt

d = ½ (vo+ v).t      avec       v ou vo = 0            soit        d =  ½ v.t

Distance en vitesse constante

 d = ½ (vo+ v).t       avec      vo = v            soit              d = v.t

Soit une vitesse initiale de 5m/s.  On cherche les distances sur 1s selon différentes vitesses finales.

Les zones foncées de ce schéma indiquent, à gauche les distances obtenues avec 5m/s comme vitesse initiale, à droite l’effet miroir en inversant les vitesses. La zone claire pourrait représenter une vitesse constante entre ces deux moments, sauf quand vitesses finale et initiale valent 0 (pas de déplacement possible).

Voici les résultats en appliquant          d = ½ [(5m/s) + v ]. (1s)

Pour les accélérations

si        a.t = v – vo       alors         a  =  (v – vo )/t

L’inversion des vitesses donne une accélération opposée.

Cette inversion s’observe également dans les proportions des différentes distances trouvées. Dans le schéma suivant, chaque distance est montrée en proportion de la distance minimale A, la distance d’arrêt.

Nous connaissons déjà un cas particulier : la distance obtenue en vitesse constante (v = vo), vaut 2 fois la distance obtenue avec arrêt (v ou vo = 0).


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Troisième formule

d = v²/2a – vo

Elle permet de ne pas se référer au temps.

Démonstration.

Si        v = a.t + vo        alors        t = (v-vo)/a

Si        t = (v-vo)/a           et           d = ½ a.t ²

alors

d = ½ a.[(v-vo)/a] ²

d = (v – vo)²/2a

et si vo = 0

d = v²/2a

FIN DU CHAPITRE

 

© Christophe Clamaron 2020

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