REBONDS – MOUVEMENTS RECTILIGNES – Dérivées et intégrales

           

DÉRIVÉES ET INTÉGRALES

Calculer la dérivée d’une fonction, c’est calculer son taux de variation. Calculer une intégrale, c’est calculer la valeur ponctuelle d’une fonction à partir de son taux de variation. Ces deux notions fonctionnent donc en miroir.

Par exemple

v = d/t     et      v = 2d/t

sont deux formules de calcul de dérivées, tandis que

d = v.t     et     d = v.t/2

sont deux formules de calcul d’intégrales.

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  1. Dérivée
  2. Dérivée de dérivée
  3. Traduction en formule cinématiques
  4. La règle des puissances
  5. Conclusion sur les dérivées
  6. Intégrales

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Dérivée

La vitesse est la dérivée de la distance en fonction du temps. Comme elle-même évolue en fonction du temps, elle a sa propre dérivée : l’accélération.

Une vitesse moyenne se calcule avec

v(t) = ∆d / ∆t

formule simplifiée de

v(t) = (d2 – d1) / (t2 – t1)

Le calcul d’une distance ou d’une vitesse dépend de la durée choisie. C’est le sens de la formulation

d(t) = distance en fonction du temps

v(t) = vitesse en fonction du temps

d(t) est une fonction. On peut se suffire de d ou l’appeler f(t), notation propre à la fonction.

v(t) est une fonction de fonction. On peut se suffire de v, ou l’appeler f’(t), notation propre à la dérivée.

v(t) = ∆d / ∆t

Quelque chose en fonction d’autre chose, c’est f (autre chose)

d en fonction de t c’est d(t) ou f(t)

d1 en fonction de t1 c’est d1(t1) ou f (t1)

d2 en fonction de t2 c’est d2(t2) ou f (t2)

v en fonction de t c’est v(t) ou f’(t)v

On peut donc écrire

f’(t) = [f(t2) – f(t1)] / (t2 – t1)

si     ∆t = t2 – t1     alors     t2 = t1 + ∆t

En remplaçant t2 par t1+∆t, on obtient

v(t) = [f(t1 + ∆t) – f(t1)] / (t1 + ∆t – t1)

plus simplement

v(t) = [f(t + ∆t) – f(t)] / ∆t

Cette formule de la dérivée est développée de

v(t) = (d2 – d1) / (t2 – t1)

fonction résumée par

v(t) = ∆d / ∆t

Si ∆t tend vers 0, ∆d aussi. Or, diviser 0 par 0 ne nous avance pas.

Retour à la définition : une dérivée mesure l’évolution d’une autre fonction.

On la trouve donc en partant de la fonction dont on cherche la dérivée :

d(t) ou f(t) = ½ at² + vo.t + do

Pour calculer sa dérivée, on part de

v(t)     ou     f’(t)    =    [f(t + ∆t) – f(t)]/∆t

Si         f (t) = ½ at² + vo.t + do

alors

f’(t) = [(½ a(t + ∆t)² + vo(t + ∆t) + do) – ( ½ at² + vo.t + do)]/∆t

On développe…

f’(t) = (½ at² + at∆t +½a∆t² + vo.t + vo.∆t + do – ½ at² – vo.t – do)/∆t

…on simplifie…

f’(t) = (at∆t + ½a∆t² + vo.∆t)/∆t

…tant qu’on peut.

f’(t) = a.t + a∆t + vo

On s’est débarrassé de la division par 0. Comme ∆t tend vers 0, on peut le considérer comme négligeable et le retirer de la formule.

f’(t)      ou      v    =  a.t + vo

est donc la dérivée de

f(t)     ou      d    =  ½ at² + vo.t + do


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Dérivée de dérivée

Si une dérivée est une fonction, elle se dérive comme toute autre fonction.

Si      f’(t) = a.t + vo

alors

f’(t+∆t) = a(t+ ∆t) + vo

donc

f’’(t) = [f’(t + ∆t) – f’(t)]/∆d

devient

f’’(t) = [(a(t + ∆t) + vo) – (at + b)]/∆t

On développe…

f’’(t) = (at + a∆t + vo – at – vo)/∆t

…on simplifie.

f’’(t) = a∆t /∆t

f’’(t) = a

qui est donc la dérivée de

f’(t) = at + vo


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Traduction en formules cinématiques

Lors d’une accélération constante, la courbe des vitesses forme une parabole. Son équation est donc celle du 2nd degré.

en termes mathématiques

y(x) = a.x² + b.x + c

  en termes cinématiques

d(t) = ½ a.t² + vo.t + do

Correspondance des termes

y = coordonnée en ordonnée         →        d = distance parcourue

a = taux de variation ½          →        a = ½ accélération

= coordonnée en abscisse au ²            →        = temps au ²

b.x = constante . x           →          vo.t = vitesse initiale.temps

c = constante          →          do = distance initiale

En dérivant la formule de distance

d = ½ a.t² + vo.t + do

nous obtenons sa dérivée, la vitesse

v = a.t + vo

et la dérivée de la vitesse, l’accélération

a = a


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La règle des puissances

Une règle sur les puissances nous permet d’arriver au même résultat en évitant ce long développement. Admettons d’abord deux règles.

Dérivée d’un nombre élevé à une puissance

xm = m.xm-1

Dérivée d’une constante

c = 0

Calculons la dérivée de l’équation du second degré

ax² + bx + c

Calcul de la dérivée

y’    ou     y’(x)     ou     f’(x)     ou     

si

y(x) = a.x² + b.x + c

sa dérivée est

y’(x) = 2a.x2-1 + 1.b.x1-1 + 0

autrement dit

y’(x) = 2ax + b

Calcul de la dérivée de la dérivée

y’’     ou     y’’(x)     ou     f’’(x)     ou     ӱ

si

y’(x) = 2ax + b

sa dérivée est

y’’(x) = 2.1.a1-1 + 0

autrement dit

y’’(x) = 2a


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Conclusion sur les dérivées

On peut dire que

  • y = a.x²+b.x+c trace une parabole (équation 2nd degré)
  • y’ = 2.a.x+b trace une tangente à la parabole (équation 1er degré)
  • y’’ = 2.a incline plus ou moins la tangente à la parabole (taux de variation)

comme on peut dire que

  • d = ½a.t²+vo.t+do trace une parabole ( courbe des vitesses)
  • v = a.t + vo.t trace une tangente à la parabole ( vitesse en x (t) )
  • a = a incline plus ou moins la tangente (accélération)

La dérivée peut se définir comme étant

  • la pente d’une droite (vitesse moyenne ou constante)
  • la tangente à une courbe (vitesse instantanée)
  • le taux de variation d’une fonction (vitesse instantanée)
  • le taux de variation d’un taux de variation (accélération)

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Intégrales

A RÉDIGER!!!!!

FIN DU CHAPITRE

 © Christophe Clamaron 2020

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