REBONDS – SUITES HORIZONTALES – Dégressivité des hauteurs et des durées

           

DÉGRESSIVITÉ DES HAUTEURS ET DES DURÉES

Une balle qui chute accumule de l’énergie cinétique à mesure qu’elle gagne en vitesse. Au moment de l’impact au sol, une partie lui est restituée et provoque son rebond. Plus elle en récupère, plus elle remonte haut. Cette énergie étant relative à sa masse, on pourrait en conclure que plus une balle est massive, plus elle remontera haut. Ce n’est pas ce que l’expérience nous montre d’une boule de pétanque et d’une balle de ping-pong.

Cette restitution d’énergie dépend également de l’élasticité, phénomène de déformation-reformation sans lequel aucun objet ne rebondit. Quand la balle se comprime au sol, des différences de pressions se produisent sur ses surfaces internes. Sauf ruptures dans la matière, ces différences tendent à se rééquilibrer et à rendre à la balle sa forme.

Durant cette phase, une partie de l’énergie cinétique se transforme plus ou moins en chaleur ou en son. A la décompression, une partie de l’énergie est restituée en un temps très bref, provoquant la propulsion.

Si c’est l’effet de compression-décompression qui joue, pourquoi une bille d’acier rebondit-elle aussi bien qu’une balle de ping-pong sur un sol en verre ?

L’efficacité d’un rebond ne dépend pas seulement de la force ou de la compression, mais du rapport entre les deux. Un bon rapport réduit le plus possible la surface et la durée de contact entre le sol et la balle. Peu compressible mais relativement lourde, la bille d’acier présente un très bon rapport sur un sol très dur.

C’est pourquoi, la notion d’élasticité ne renvoie pas, pour le physicien, à la capacité d’un corps à se compresser, mais au seul taux de restitution d’énergie. Vu sous cet angle, le rebond d’une bille sur un sol en verre est donc plus élastique que celui d’une balle sur un terrain de tennis.

Un caillou sur du marbre rebondirait très bien si sa forme ne le déviait n’importe où.

Pour assurer la symétrie du mouvement, il faut une forme sphérique.

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  1. Le taux de dégressivité
  2. Application
  3. Suites géométriques
  4. Formules de suites géométriques
  5. Tables de dégressivités

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Le taux de dégressivité

Taux de rebond si on l’applique aux hauteurs, coefficient de restitution (Cr ou e) si on l’applique aux vitesses ou à l’énergie, nous préférerons l’expression générale de taux de dégressivité en lui attribuant l’abréviation Cr pour la distinguer d’autres abréviations pendant les calculs.

Plus la vitesse est élevée, plus la surface de contact s’élargit, dans des proportions qui donnent lieu à une loi physique : la perte d’énergie vaut le carré de la perte de vitesse.

Cette perte se traduit par la perte de hauteur d’une balle après rebond. Autrement dit, si on applique un taux de dégressivité de 0,5 aux vitesses, le même taux vaut pour les durées, mais pour l’appliquer aux hauteurs, il faut l’élever au carré, soit 0,25.

Appliquer un taux, c’est accroître une valeur s’il est supérieur à 1, la réduire s’il est inférieur.

On peut inversement choisir un taux pour les hauteurs et appliquer sa racine carré aux durées. C’est l’approche qu’adopterait plutôt l’animateur s’il cherche d’abord à composer son image. Le physicien s’intéresse plutôt à la quantité d’énergie restituée et aux variations de vitesses qui en résultent. Le taux qu’il applique exprime pour lui une loi d’impact.

Peu importe la façon de s’y prendre du moment que l’on retient que l’un est le carré de l’autre en sachant dans quel sens.

Un taux de dégressivité se situe entre 0 et 1.

 

Un taux de 0 est inélastique. Un taux de 1 est élastique. C’est l’impossible hypothèse du rebond éternel, aucune collision n’évitant une déperdition, même infime, en chaleur ou en son.

Entre ces deux extrêmes, le rebond est plus ou moins élastique. Toute balle de jeu, tennis, foot ou autre, se qualifie par un Cr qui lui est propre.

Ces valeurs s’obtiennent sous condition d’un sol ferme. Aucune ne rejoint la performance d’une bille d’acier sur une bille d’acier : 0,95.

Bille sur bille, en effet. La surface de contact entre deux courbes contraires est plus faible que celle entre une courbe et un plan, elle même plus faible qu’entre deux courbes orientées dans le même sens.

Le taux de rebond dépend de la qualité des matériaux en contact. Si aucune variation de surface ne survient au cours des rebonds, des irrégularités du sol ou de plasticité, on peut considérer qu’il ne varie pas au fil du mouvement. Nous admettons l’hypothèse malgré une réserve exposée plus loin.

Le calcul de rebonds s’effectue depuis des valeurs initiales 0 (zéro), ou o (origine) si ces valeurs ne sont pas nulles.

 

Ro = Rebond initial

ho = Hauteur initiale

to = temps initial

vo = vitesse initiale


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Application

Soit un premier rebond de 1,00 m avec un Cr de 0,5.

Un rebond nécessitant au moins deux phases, inutile de descendre en dessous de 1cm. En effet, la hauteur minimale pour une image de chute libre est de

½ x 10m/s² x (1p/24)² = 0,009 m,     disons 1cm.

Hormis cette limite technique, si on peut diviser à l’infini, on peut se demander pourquoi une balle cesse de rebondir. C’est parce que la fréquence des rebonds finit par atteindre le mode d’oscillation propre de la balle. Autrement dit, les déformations de la balle finissent par être plus importantes que les hauteurs atteintes, et les absorbent.

 

Le taux des durées et des vitesses vaut la racine² de celui des hauteurs

Un lâcher de   1m   fait   0,445 s,   le double pour un rebond

2.to = 0,89 s      soit      21 phases

tn = tn-1 . √Cr

La vitesse d’un rebond initial de 1m atteint, en entrée et en sortie

v = √(2g.h)    soit   2 x 10 x 1,00m    soit    4,47 m/s

vn = vn . Cr ½

Les valeurs de vitesses peuvent être ramenées à l’échelle du dessin.

Exemple d’une échelle 0,2 (1m réel = 20cm):

3,16 m/s x 0,2 / 24   =   13,2 cm/p

etc.


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Suites géométriques

Une succession de rebonds forme une suite géométrique, c’est à dire qu’il suit un principe de répétition systématique. Ro, rebond initial, forme le départ d’une suite et n’entre pas dans le nombre de répétitions. Chaque terme vaut le produit du terme précédent par un facteur appelé « raison ».

Les termes sont ici des hauteurs, des durées, des vitesses,  et la raison, le Cr.

ho + h1-1.Cr + h2-1.Cr + h3-1.Cr + … + hn-1.Cr

Pour calculer un terme, on se réfère soit au terme précédent, soit au terme initial.

Calcul relatif au terme précédent

hn = hn-1 . Cr

Calcul relatif au terme initial

hn = ho . Crn

Un Cr est inférieur à 1. Multiplier un terme par le Cr revient donc à le réduire.

Soit un rebond de hauteur ho = 2m et un Cr de 0,7

Calcul d’une hauteur relatif à la précédente

h1 = 2,00m . 0,7 = 1,40m

h2 = 1,40m . 0,7 = 0,98m

h3 = 0,98m . 0,7 = 0,69m

Calcul d’une hauteur relatif à la hauteur initiale

h3 = 2,00m . 0,73 = 0,69m

Calcul d’une durée relatif à la précédente

tn = tn-1.√Cr ou Cr 1/2

la notation √Cr équivaut à Cr 1/2

Calcul d’une durée relatif à la durée initiale

tn = to .√Crn ou Cr n/2

Soit un rebond d’une durée      to = 2s        et un Cr de 0,7

t1 = 2s. 0,71/2 = 1,67s

t3 = 2s. 0,73/2 = 1,17s

Pour calculer une suite, l’usage d’un tableur numérique est conseillé. Si on ne dispose que d’une calculatrice, le calcul relatif au terme précédent est, avec un peu d’habitude, rapide et sans erreur.


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Formules

Somme d’une suite géométrique

Cette formule permet de prévoir la durée d’une suite de rebonds à animer. On peut additionner les durées une par une ou utiliser la formule suivante.

SomT = to . (1– Cr (n+1)/2 )/(1– Cr 1/2)

Soit 7 rebonds après à un rebond initial de 0,89s avec un Cr de 0,5 :

SomT = 0,89 s x (1– 0,5 (7+ 1)/2 )/(1 – 0,51/2 √ 2,8 s ( 68 phases)

Nous verrons au prochain chapitre qu’elles servent également à calculer la limite de longueur d’une suite de rebonds avec déplacement en x.

Limite d’une suite géométrique

On peut faire la somme d’une suite infinie de termes. Il suffit de substituer     à   n   dans la formule d’une somme.

SomT   =   to . (1– Cr (∞+1)/2 )/(1– Cr 1/2)

Quand le Cr est inférieur à 1, l’élever à l’infini donne une valeur qui tend vers 0. Elle est donc négligeable et peut être sortie de la formule.

SomT→∞   =   to /(1- Cr1/2)

autrement dit

LimT   =   to /(1- Cr1/2)

La limite d’une division infinie est finie. Si une balle fait un rebond de 1s, puis de la moitié de 1s, puis de la moitié de 0,5s, puis…etc, la somme des durées tendra infiniment vers 2s sans jamais les atteindre. 2s est une limite asymptotique.

Pour une suite verticale, les limites ne sont que des valeurs indicatives. Elles servent surtout au calcul de suites avec déplacements en x, objet du prochain chapitre où nous compléterons nos remarques sur les limites.

Déterminer le Cr depuis une suite déterminée de rebonds

La balle doit effectuer 7 rebonds entre un premier de 1,25 m (1s) et un dernier de 1 cm ( 0,09s).

Si       hn = Cr n.ho         alors         Cr = ( hn/ ho)1/n

= (0,01/1,25) 1/7

√ 0,5

Si       tn = Cr n/2.to         alors        Cr = ( tn/ to)2/n

= (0,09s / 1s) 2/7

√ 0,5

Déterminer le Cr en fonction des limites

Si      LimT  =  to / (1 – √Cr)      alors      Cr = ((LimT – to) / LimT ) ²

Le premier rebond d’une suite fait 1s. On décide de ne pas dépasser 4s.

Cr = ((4s1s) / 4s ) ²  ≅   0,56

Déterminer le nombre de rebonds selon un Cr donné.

Jusqu’ici, le nombre n de rebonds est apparu dans nos formules en tant que puissance. Sa grandeur était déterminée et servait à en déterminer d’autres. En cherchant n, c’est cette puissance que l’on pose comme inconnue. On la retrouve grâce aux logarithmes.

Le logarithme d’un nombre est la puissance à laquelle il faut en élever un autre pour obtenir ce nombre.

Si      23 = 8

alors

3      est le logarithme en base 2          de      8

ou

3 = log28

Soit b le nombre dont on cherche le logarithme, a sa base, n la puissance.

Si      an = b      alors      nloga = logb      donc      n = logb / loga

Sachant cela, on peut isoler n des formules des limites

Si       hn = ho . Crn        alors       n = log (hn / ho ) /log Cr

Si       ho = 1m       et      hn = 0,01m

alors

n = log ( 0,01/1) /log 0,5 = 7 rebonds

Le résultat n’est en réalité pas tout à fait 7, mais un nombre de rebonds est forcément entier. L’approximation se déplace ailleurs, soit sur la première hauteur, soit sur la dernière.

ho = h7 / Cr7       = 0,01 / 0,57         = 1,28 m          au lieu de 1,00m

h7 = ho . Cr7        = 1,00 x 0,57       = 0,008 m      au lieu de 0,01m

Reportée sur la dernière, elle est peu conséquente.


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TABLES DE DÉGRESSIVITÉS

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Ces tables permettent d’observer, sur quelques cas de figure, l’effet d’un taux  de dégressivité sur le nombre de rebonds et la durée d’une animation complète.

FIN DU CHAPITRE

© Christophe Clamaron 2020

 

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