VITESSE INSTANTANÉE

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Durée de l’instantané
Première formule
Remarques
Deuxième formule
Troisième formule

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Durée de l’instantané

Quand la vitesse est aléatoire, chaque point de la courbe indique une vitesse différente. En première approche, on peut estimer que la vitesse en un point vaut la vitesse moyenne entre deux autres qui l’encadrent à intervalles de temps égaux (points encadrants). En traçant la pente entre ces deux autres points, on peut calculer sa vitesse.

Dans ce premier schéma, la vitesse à 4 secondes serait donc la vitesse moyenne entre les secondes 1 et 7. A première vue, c’est suspect. Pour une approximation plus juste, on rapproche les points encadrants.

Plus l’écart se réduit, plus l’approximation s’affine.

Le résultat est parfait quand la droite devient tangente à la courbe en passant par le point.

Cette tangente est une pente qui exprime une vitesse. Si le point étudié ne donne pas de mesure en soit, n’importe quel intervalle sur la pente permet d’obtenir sa vitesse.

Au final, on peut dire que

Δd/Δt

vaut une

vitesse moyenne si l’intervalle est pris sur une courbe

ou une

vitesse constante si l’intervalle est pris sur une droite

ou une

vitesse instantanée si l’intervalle est pris sur une tangente

◊

Quand on mesure une vitesse à l’aide d’une courbe, la justesse du résultat dépend de la qualité du tracé. Pour calculer des vitesses moyennes ou constantes, on dispose de formules, assurément plus certaines.

Ce n’est pas le cas pour les vitesses instantanées, sauf dans le cas d’une accélération constante.

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Première formule de vitesse instantanée

v = a.t

Dans une équation, le point indique une multiplication

Elle se déduit de la première formule d’accélération

Si a = v/t alors v = a.t

Nous savons que la vitesse instantanée est indiquée par la tangente à la courbe. Selon sa pente, le mobile accélère plus ou moins.

Accélération = + 2m/s²

v(t) = (2m/s²) . t

v(1s) = 2m/s

v(2s) = 4m/s

v(3s) = 6m/s

v(4s) = 8m/s

◊

La décélération exige la formule complète, celle d’un mouvement en cours, qui tient compte d’une vitesse initiale v_o.

v = v_o+ a.t

La vitesse initiale d’une décélération vaut la vitesse finale d’une accélération de même sens et de même durée.

Accélération = – 2m/s²

v_o = a.t

(2m/s²) . 4s = 8 m/s

v(t) = (8m/s) + (-2m/s²) . t

v(1s) = 6m/s

v(2s) = 4m/s

v(3s) = 2m/s

v(4s) = 0m/s

Les résultats sont les mêmes, simplement inversés.

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Remarques

On passe d’une vitesse à une autre en additionnant ou en déduisant à chaque fois l’accélération. Chaque vitesse vaut la moyenne de n’importe quelles vitesses encadrantes…

v(t) = (vt-x + vt+x) / 2

v(2s) = (2m/s + 6m/s) / 2 = 4m/s

v(2s) = (0m/s + 8m/s) / 2 = 4m/s

… ou les vitesses moyennes de n’importe quels points encadrants.

v(t) = Δd/Δt = (d2 – d1) / ( t2 – t1)

v(3s) = (16m – 4m) / ( 4s – 2s) = 6m/s

◊

Ces résultats se confirment géométriquement.

Quand l’accélération est constante, toute droite passant par deux points encadrants est parallèle à la tangente du point étudié, …

… et des pentes parallèles indiquent toutes la même vitesse.

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Seconde formule

v = 2d/t

Cette formule permet de ne pas se référer à l’accélération. Elle se démontre mathématiquement…

Si v = a.t + v_o alors a = (v- v_o) /t

Si a = (v-v_o) /t et d = v_o.t + 1/2 a.t²

alors

d = v_o.t + 1/2 (v-v_o) / t . t²

2d = 2v_o . t + (v-v_o) . t

2d/t = 2v_o + v – v_o

v = 2d/t – v_o

et si v_o = 0

alors

v = 2d/t

… et géométriquement. Dans le schéma suivant, la tangente à la courbe de l’accélération constante pourrait être celle d’une vitesse constante qui ferait la même distance en 2 fois moins de temps…

… ou bien, sur une même durée, la distance parcourue en vitesse constante est le double de celle parcourue en accélération constante.

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Troisième formule

v² = 2a.d

Cette formule, qui permet de ne pas se référer au temps, se démontre ainsi:

Si v = a.t + v_o, alors t = (v-v_o) / a

Si t = (v – v_o) /a et d = v_o.t + 1/2 a.t²

alors

d = v_o. (v-v_o) /a + 1/2 a. [(v-v_o)/a)]²

= (v_o.v-v_o²)/a + (v-v_o)²/2a

ad = 2(v_o.v-v_o²)/2 + (v²+v_o² – 2v.v_o)/2

2ad = v²-v_o²

v² = v_o² + 2ad

et si v_o = 0

v² = 2ad

◊

Terminons en déduisant de cette formule la 3ème formule de l’accélération.

Si v² = v_o² + 2ad

alors

a = (v²-v_o²)/2d

et si v_o = 0

a = v²/2d

↑

◊

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