REBONDS – SUITES SUR PENTES – Méthode pas à pas

          

MÉTHODE PAS A PAS

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  1. Ajout de rebonds à un rebond initial descendant
  2. Ajout d’un rebond R1 et d’un impact I2
  3. Ajout de rebonds à un rebond initial ascendant
  4. Ajout de rebonds antérieurs

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Ajout de rebonds à un rebond initial descendant

Reprenons l’exemple du rebond Ro de 1,25m de hauteur, soit 1 s.

Son amplitude au sol est de 3m sur une pente dont l’angle θ est de 20°.

Pour éviter de confondre les entrées E et les sorties S des différents rebonds on nomme cette fois les impacts au sol I1, I2, I3… etc. Les entrée E et sortie S du rebond initial Ro deviennent les impacts I0 et I1, ceux du rebond suivant R1 sont les impacts I1 et I2, …etc.

Le point M, utile pour repérer le 0 sur pente, est conservé.

Accélération

a = g.sinθ

= (10m/s²).sin20°  = 3,42m/s²

Commençons cette fois par calculer des durées.

Durée en M

tM = lRo/a.tRo

= 3m/[(3,42m/s²).1s)]  =0,88s

Durées en I1 et en I2

tI1 et tI2 = tM ± ½ tRo

= 0,88s ± 0,5s         tI0 = 0,38s

tI1 = 1,38s

Distances en I0, M, I1

d = ½ (3,42m/s²).t²

dI0 = … x 0,38s² = 0,25m

dM = … x 0,88s² = 1,32m

dI1 = …  x 1,38s² = 3,25m


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Ajout d’un rebond R1 et d’un impact I2

Nous poursuivons les calculs sur l’exemple précédent.

La durée du rebond suivant dépend du taux de dégressivité, disons 0,5 pour les hauteurs, soit √0,5 pour les durées.

Hauteur de R1

hR1 = hR0. CrH

= 1.25m . 0,5 = 0,625m

Durée de R1

tR1 = tR0. CrT

= 1s . √0,5 =  0,71s

Durée en I2

tI2 = I1 + tR1

= 1,38s + 0,71s = 2,09s

Distance en I2

dI2 = ½ a.tI2²

= ½ (3,42m/s²).2,09s²= 7,47m

Suivant le même principe, on peut ajouter d’autres rebonds.

tR2 = tR1 . CrT

tI3 = I2 + tR2

dI3 = ½ a . tI3²

tR3 = tR2 . CrT

etc.

Même exercice avec des mesures papier

Pour obtenir le 0 sur pente en partant d’un rebond initial quelconque, il n’est donc pas nécessaire de connaitre sa durée. En fait, la formule que nous avons vue pour le repérer par rapport à M cache un rapport de temps.

d0M = lRo² / 8(dMS – dEM)

La durée de la distance EM vaut celle de la distance MS. Si chacune valent une unité de temps, le rebond complet vaut alors 2t.

Il est inutile de mieux définir cette durée tant que l’on ne détermine pas l’échelle du dessin. Une même trajectoire peut servir à des animations de différentes durées, des valeurs unitaires suffisent pour assurer la proportion entre rebonds.

Mais alors, durées et hauteurs ne sont plus corrélées?

Cette corrélation est relative à la gravité. Prendre des valeurs unitaires, c’est faire comme si nous changions la gravité. C’est sans conséquence sur les proportions des rebonds les uns par rapport aux autres. Ces proportions ne rendent pas compte de durées définitives, mais de rapports de durées cohérents.

Soit un rebond Ro, hauteur  h  =  4 cm,  amplitude  ES  =  8 cm  sur une pente de 15°.

Cr = 0,5. 

Sa durée tRo  =  2t.

Accélération

a = dEM – dMS = 5 cm – 3 cm = 2 cm/t²

ou bien

a = 2h.sinpente = 2 x 4 cm x sin15°  ≈  2 cm/t²

Attention: accélération de calcul qui ne tient pas compte de la gravité réelle!

Durée en M

tM = LRo/2a = 8cm/2 x 2 = 2t

Durées en  Io et en I1

tIo = tM – ½.2t = 2t – 1t =  1t

tI1 = tM + ½.2t = 2t + 1t = 3t

Distances en  Io , M et  I1

d = ½ .a.t²

dIo = ½ x (2cm/t²) x 1t ² = 1 cm

dM = ½ x (2cm/t²) x 2t ² = 4 cm

dI1 = ½ x (2cm/t²) x 3t ² = 9 cm

Ajout d’un rebond R1 et d’un impact I2

tR1   =   tRo . CrT    =    2t. √0,5     =     1.41t

tI2      =     tI1 + tR1    =    3t + 1,41t    =      4,41 t

dI2 =     ½ x (2cm/t²) x 4,41t²     =     19,45 cm

Calcul de R2

tS2 = tS1 + tR1√0,5 = etc.


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Ajout de rebonds à un rebond initial ascendant

Soit un rebond Ro de 8 cm d’amplitude et de 1,6 cm de haut. Pente θ = 15°.

Sa durée est de 2t.

Par rapport au rebond descendant, la différence pour Ro est l’inversion E (Io) et S (I1). Pour faciliter le calcul des durées, on maintient que 0t est le 0 sur pente. Antérieurs à ce dernier, les rebonds ascendants présentent donc des valeurs négatives, en durées et en distances.

Accélération

a = 2h.sinp

= 2 x 1,6cm x sin15° = 0,8cm/t²

Durée de M depuis 0

tM = LR/2a

= 8cm /2 x 0,8 =  – 5t

Durées en Io et en I1

tIo = tM – ½ 2t

= -5t – 1t = – 6t

tI1 = t+ ½ 2t

=-5t +1t = – 4t

Distances en  Io , M et  I1

d = ½ .a.t²

dIo = ½ x (0,8cm/t²) x – 6t ²= – 14.4 cm

dM = ½ x (0,8cm/t²) x 5t ² = – 10 cm

dI1 = ½ x (0,8cm/t²) x 4t ² = – 6,4 cm

Ajout de  R1

tR1   =   tRo . CrT

=    – 2t. √0,5     =    –  1.41t

tI2  = tI1 + tR1

= – 4 t + (- 1,41t)    =  –  2,59t

di2  = ½ x (0,8cm/t²) x ( – 2,59²)   =  –  2,68 cm

Ajout de R2

tR2   =   tR1 . CrT

etc.


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Ajout de rebonds antérieurs

Les (Cr) indiqués sont ceux des hauteurs. Ceux des durées = √Cr.

On peut tout aussi bien rajouter des rebonds antérieurs à un rebond descendant. Auquel cas, au lieu de multiplier la hauteur initiale ho par Crh, on la divise, et, selon sa durée, le rebond qui précède sera ascendant ou descendant, contraint par la limite 0.

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© Christophe Clamaron 2020

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