MÉTHODE PAS A PAS
- Ajout de rebonds à un rebond initial descendant
- Ajout d’un rebond R1 et d’un impact I2
- Ajout de rebonds à un rebond initial ascendant
- Ajout de rebonds antérieurs
Ajout de rebonds à un rebond initial descendant
Reprenons l’exemple du rebond Ro de 1,25m de hauteur, soit 1 s.
Son amplitude au sol est de 3m sur une pente dont l’angle θ est de 20°.
Pour éviter de confondre les entrées E et les sorties S des différents rebonds on nomme cette fois les impacts au sol I1, I2, I3… etc. Les entrée E et sortie S du rebond initial Ro deviennent les impacts I0 et I1, ceux du rebond suivant R1 sont les impacts I1 et I2, …etc.
Le point M, utile pour repérer le 0 sur pente, est conservé.
Accélération
a = g.sinθ
= (10m/s²).sin20° = 3,42m/s²
Commençons cette fois par calculer des durées.
Durée en M
tM = lRo/a.tRo
= 3m/[(3,42m/s²).1s)] =0,88s
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Durées en I1 et en I2
tI1 et tI2 = tM ± ½ tRo
= 0,88s ± 0,5s tI0 = 0,38s
tI1 = 1,38s
Distances en I0, M, I1
d = ½ (3,42m/s²).t²
dI0 = … x 0,38s² = 0,25m
dM = … x 0,88s² = 1,32m
dI1 = … x 1,38s² = 3,25m
Ajout d’un rebond R1 et d’un impact I2
Nous poursuivons les calculs sur l’exemple précédent.
La durée du rebond suivant dépend du taux de dégressivité, disons 0,5 pour les hauteurs, soit √0,5 pour les durées.
Hauteur de R1
hR1 = hR0. CrH
= 1.25m . 0,5 = 0,625m
Durée de R1
tR1 = tR0. CrT
= 1s . √0,5 = 0,71s
Durée en I2
tI2 = I1 + tR1
= 1,38s + 0,71s = 2,09s
Distance en I2
dI2 = ½ a.tI2²
= ½ (3,42m/s²).2,09s²= 7,47m
Suivant le même principe, on peut ajouter d’autres rebonds.
tR2 = tR1 . CrT
tI3 = I2 + tR2
dI3 = ½ a . tI3²
tR3 = tR2 . CrT
etc.
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Même exercice avec des mesures papier
Pour obtenir le 0 sur pente en partant d’un rebond initial quelconque, il n’est donc pas nécessaire de connaitre sa durée. En fait, la formule que nous avons vue pour le repérer par rapport à M cache un rapport de temps.
d0M = lRo² / 8(dMS – dEM)
La durée de la distance EM vaut celle de la distance MS. Si chacune valent une unité de temps, le rebond complet vaut alors 2t.
Il est inutile de mieux définir cette durée tant que l’on ne détermine pas l’échelle du dessin. Une même trajectoire peut servir à des animations de différentes durées, des valeurs unitaires suffisent pour assurer la proportion entre rebonds.
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Mais alors, durées et hauteurs ne sont plus corrélées?
Cette corrélation est relative à la gravité. Prendre des valeurs unitaires, c’est faire comme si nous changions la gravité. C’est sans conséquence sur les proportions des rebonds les uns par rapport aux autres. Ces proportions ne rendent pas compte de durées définitives, mais de rapports de durées cohérents.
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Soit un rebond Ro, hauteur h = 4 cm, amplitude ES = 8 cm sur une pente de 15°.
Cr = 0,5.
Sa durée tRo = 2t.
Accélération
a = dEM – dMS = 5 cm – 3 cm = 2 cm/t²
ou bien
a = 2h.sinpente = 2 x 4 cm x sin15° ≈ 2 cm/t²
Attention: accélération de calcul qui ne tient pas compte de la gravité réelle!
Durée en M
tM = LRo/2a = 8cm/2 x 2 = 2t
Durées en Io et en I1
tIo = tM – ½.2t = 2t – 1t = 1t
tI1 = tM + ½.2t = 2t + 1t = 3t
Distances en Io , M et I1
d = ½ .a.t²
dIo = ½ x (2cm/t²) x 1t ² = 1 cm
dM = ½ x (2cm/t²) x 2t ² = 4 cm
dI1 = ½ x (2cm/t²) x 3t ² = 9 cm
Ajout d’un rebond R1 et d’un impact I2
tR1 = tRo . CrT = 2t. √0,5 = 1.41t
tI2 = tI1 + tR1 = 3t + 1,41t = 4,41 t
dI2 = ½ x (2cm/t²) x 4,41t² = 19,45 cm
Calcul de R2
tS2 = tS1 + tR1√0,5 = etc.
Ajout de rebonds à un rebond initial ascendant
Soit un rebond Ro de 8 cm d’amplitude et de 1,6 cm de haut. Pente θ = 15°.
Sa durée est de 2t.
Par rapport au rebond descendant, la différence pour Ro est l’inversion E (Io) et S (I1). Pour faciliter le calcul des durées, on maintient que 0t est le 0 sur pente. Antérieurs à ce dernier, les rebonds ascendants présentent donc des valeurs négatives, en durées et en distances.
Accélération
a = 2h.sinp
= 2 x 1,6cm x sin15° = 0,8cm/t²
Durée de M depuis 0
tM = LR/2a
= 8cm /2 x 0,8 = – 5t
Durées en Io et en I1
tIo = tM – ½ 2t
= -5t – 1t = – 6t
tI1 = tM + ½ 2t
=-5t +1t = – 4t
Distances en Io , M et I1
d = ½ .a.t²
dIo = ½ x (0,8cm/t²) x – 6t ²= – 14.4 cm
dM = ½ x (0,8cm/t²) x 5t ² = – 10 cm
dI1 = ½ x (0,8cm/t²) x 4t ² = – 6,4 cm
Ajout de R1
tR1 = tRo . CrT
= – 2t. √0,5 = – 1.41t
tI2 = tI1 + tR1
= – 4 t + (- 1,41t) = – 2,59t
di2 = ½ x (0,8cm/t²) x ( – 2,59²) = – 2,68 cm
Ajout de R2
tR2 = tR1 . CrT
etc.
Ajout de rebonds antérieurs
Les (Cr) indiqués sont ceux des hauteurs. Ceux des durées = √Cr.
On peut tout aussi bien rajouter des rebonds antérieurs à un rebond descendant. Auquel cas, au lieu de multiplier la hauteur initiale ho par Crh, on la divise, et, selon sa durée, le rebond qui précède sera ascendant ou descendant, contraint par la limite 0.
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© Christophe Clamaron 2020