GÉNÉRALITÉS
Si une balle se déplace en x tandis qu’elle rebondit sur un plan horizontal, c’est qu’une force lui a été appliquée. Quelqu’un l’a lancée, elle est tombée d’une table, peu importe. Sans cette force, un rebond sur plan horizontal est vertical. Lâchée même verticalement sur une pente, la balle se déporte nécessairement en x. Le principe de symétrie est maintenu, mais perpendiculairement à la pente.
Maintenant, voyons les conséquences.
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- Trajectoire d’un rebond sur pente
- La hauteur indique la durée
- Les trois points de vue
- L’hypothèse du rebond éternel
- Dégressivité
- Vitesse initiale relative à la pente
- Types de dégressivité
- Conclusion
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La trajectoire d’un rebond sur pente est une parabole
Une parabole ne se penche pas. Le seul effet d’une pente est d’incliner sa base, réduisant d’un coté son tracé, l’augmentant de l’autre.
Sur un plan horizontal, la hauteur d’un rebond est celle de sa parabole. Sur une pente, rebond et parabole ont leur propre enveloppe et leur propre hauteur. L’enveloppe du rebond se décale en aval de la pente. Le sommet de l’enveloppe est toujours parallèle au sol, et son axe médian forme la hauteur du rebond.
Quand on incline le sol, on maintient la durée du rebond en maintenant sa hauteur. Ce n’est plus le sommet de la parabole qui indique la durée médiane, mais le sommet du rebond.
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La hauteur indique la durée
La hauteur du rebond est à distinguer de la projection perpendiculaire de son sommet sur la pente, qui indique l’écart maximal de la pente.
SR, sommet du rebond, indique la durée médiane entre E (entrée) et S (sortie) d’une balle qui longe la parabole. M, sa projection perpendiculaire au sol, indique la durée médiane entre E et S d’une balle qui roulerait sur la pente. SR et M correspondent donc à une même durée.
La symétrie des durées, des distances et des vitesses par rapport au sommet de la parabole vaut toujours entre 2 points de la parabole parallèles à l’horizontale.
L’inclinaison produit une autre symétrie des durées, mais parallèle au sol et relative au sommet du rebond. Si la durée en amont de SR vaut toujours celle en aval, la distance en amont est moindre que celle en aval. La vitesse en un point de la parabole pris en amont est donc moindre que celle d’un point pris en aval sur la même parallèle à la pente.
L’inclinaison augmente l’accélération relative à la pente, et donc l’amplitude d’un rebond de même durée. Cependant, quelle que soit cette inclinaison, tant que la hauteur du rebond est la même, sa durée ne change pas.
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Les trois points de vue
Selon qu’on adopte sur un rebond un point de vue vertical, perpendiculaire ou parallèle à la pente, on observe une vitesse constante, une accélération sur pente, ou un rebond vertical.
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L’hypothèse du rebond éternel
C’est l’impossible hypothèse d’un taux de dégressivité de 1. Mais on peut en parler.
La hauteur et la durée des rebonds sont constantes, seules évoluent les longueurs en fonction de l’accélération sur pente. La courbe de dégressivité est alors une parallèle à la pente.
D’un point de vue perpendiculaire à la pente, l’aspect d’une suite de rebonds est celui d’une accélération constante. D’un point de vue vertical, la vitesse est constante en x entre deux impacts, mais, de rebond en rebond, elle augmente dans le rapport suivant: vitesse en R2 = 2R1 , en R3 = 3R1 , etc. , rapport qui vaut pour les longueurs.
Démonstration d’après le schéma précédent
Une balle est lâchée verticalement en I0. La durée de chute vaut 1t, la moitié d’un rebond complet. La projection perpendiculaire de la hauteur sur la pente situe le début d’accélération sur pente (0 sur pente) et vaut, de 0 à I1, 1d. L’accélération sur pente vaut donc 2d/t². R1 répète la hauteur du lâché initial, et sa durée vaut le double, soit 2t. La durée en I2 est de 1t + 2t soit 3t. Donc,
La distance en I2 est de 1/2 (2d/t²) . 3t² soit 9d
La distance en I3 est de 1/2 (2d/t²) . 5t² soit 25d
La distance en I4 est de 1/2 (2d/t²) . 7t² soit 49d
On en déduit que
R1 = 9d-1d = 8d
R2 = 25d – 9d = 16d soit 2R1
R3 = 49d-25d = 24d soit 3R1
etc.
Les rapports sur pente valent ceux à l’horizontale.
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Comme dans les suites horizontales, le taux de dégressivité de 1 est le seul qui autorise la parfaite symétrie des tangentes. S’il est inférieur à 1, cette symétrie ne se vérifie plus.
A quoi sert de connaitre cette hypothèse? A constater que, en l’absence de tout phénomène de dégressivité, l’accélération allonge indéfiniment la longueur des rebonds, sans jamais atteindre la phase de roulement.
Dans un effet contraire, la dégressivité des durées va réduire les longueurs jusqu’à ce que la balle roule sur la pente.
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Dégressivité
Qu’une balle soit lancée sur un plan horizontal ou sur une pente, la dégressivité des rebonds s’effectue de la même manière pour les hauteurs et les durées, c’est à dire en leur appliquant un coefficient quelconque, et en tenant compte que le taux des hauteurs vaut le carré de celui des durées.
Pour les longueurs, le fait d’incliner la base sans modifier la durée modifie la vitesse au sol qui, de constante, devient variable. Au lieu de calculer
Longueur à l’impact I = v.t
on calcule
I = ½ g.sinθ.t ²
(θ = angle de pente)
On ne peut donc pas leur appliquer un simple taux de dégressivité, vu qu’il s’agit désormais de considérer deux accélérations, celle verticale, qui détermine la hauteur et la durée des rebonds, et celle sur pente, qui détermine la position des impacts.
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Vitesse initiale relative à la pente
La manière dont la balle est lancée est sans conséquence sur ses accélérations. Elle ne détermine que la vitesse initiale de la balle. La vitesse initiale qui nous intéresse ici n’est pas celle propre à la balle, celle dans le sens de son mouvement, mais celle relative à la pente.
Notons qu’une trajectoire de rebond peut définir autant un lancer ascendant que descendant.
Le sens du mouvement ne détermine que le sens de la dégressivité.
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Types de dégressivité
Quand une balle est tirée en amont d’une pente, son mouvement, d’abord ascendant, finit par devenir descendant. Selon le moment où la phase de roulement succède à la phase de rebonds, on distingue trois cas de figure donnant lieu à trois types de dégressivité.
1 – la phase de roulement débute pendant que la balle décélère en amont
La courbe de dégressivité est alors convexe et tend à être soit parabolique soit rectiligne selon l’importance de l’inclinaison. Plus elle est droite, plus la phase de roulement est courte pendant le mouvement ascendant.
2 – la phase de roulement débute à l’instant précis où le mouvement s’inverse
La courbe de dégressivité est alors une droite.
3 – la phase de roulement débute après l’inversion du mouvement
Dans ce cas, la courbe de dégressivité s’inverse, et se prolonge en aval.
Ces trois cas de figure dépendent de la pente, de la force du tir, de son inclinaison, et du taux de dégressivité.
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Conclusion
Dans un précédent chapitre, nous avons vu qu’une dégressivité sur sol horizontal pouvait tendre soit vers la droite, soit vers la parabole, selon la résistance en x, mais sans jamais atteindre ni l’une, ni l’autre.
Avec un sol en pente, on pourrait imaginer une pente telle que l’accélération due à l’inclinaison compense assez la résistance aux impacts pour produire une vitesse constante sur l’ensemble du mouvement, autrement dit, pour former une courbe de dégressivité parabolique. Quand à former une droite, elle le peut dans un cas, celui où le dernier rebond d’une suite en amont de la pente se fait juste avant le changement de direction de la balle.
Hormis ces deux cas, improbables mais possibles, il semble difficile de définir clairement la courbe de dégressivité d’une balle qui rebondit en même temps qu’elle dévale une pente. Toute tentative de construction géométrique envisageant la parabole, l’asymptote ou autre, est contredite par une construction calculée rebond après rebond. C’est le résultat d’une difficile synthèse entre deux effets contraires, l’accélération sur pente et la dégressivité des rebonds.
En attendant l’astuce géométrique qui permettra de tracer une telle courbe, il faut admettre un minimum de calcul.
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© Christophe Clamaron 2020