DISTANCE DE ROULEMENT

Une boule de bowling rebondit peu mais roule longtemps. Comme elle est lourde, elle perd beaucoup d’énergie à chaque impact dans l’axe vertical. Comme elle est dure et qu’on la lance sur une piste huilée tout aussi dure, elle rencontre peu de résistance en x et roule d’autant plus loin qu’elle pèse.

A contrario, une balle de ping-pong rebondit plus de 40 fois avant de s’arrêter. Comme elle est légère et qu’elle reste longtemps en l’air, elle amortit la vitesse en x à chaque impact, même à peine. Celle au dernier rebond est alors d’autant plus faible qu’ils ont été nombreux.

Dans l’axe horizontal (x), la phase de rebonds se caractérise par une succession de vitesses constantes et de saccades aux impacts. Pendant la phase de roulement, comme la balle est en contact constant avec le sol, la décélération est constante.

Il s’agit donc d’assurer la continuité entre deux phases de nature différente, l’une calculée avec un taux de dégressivité, l’autre avec une formule cinématique. Nous y parviendrons en déterminant la vitesse et l’accélération au dernier rebond, toutes deux nécessaires au calcul de la phase de roulement.

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Avertissement
Taux de dégressivité des vitesses et des accélérations
Choix du taux des longueurs
Formules
Retenons
Démonstration par les courbes

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Avertissement

Le traitement des saccades en x (accélérations variables) invite à passer des équations du 2^ème degré à celles du 3^ème degré. Ce saut, complexe à effectuer, ne s’impose pas dans notre étude. Les formules de suites géométriques suffisent.

Ce chapitre fait toutefois la synthèse de 3 études un peu rébarbatives, que je laisse en consultation. Je remercie d’avance les esprits mathématiques qui accepteront d’émettre leurs remarques dans la case « commentaire » en bas de page de chaque analyse.

Taux de dégressivité contre formules cinématiques

Taux de dégressivité des vitesses et des accélérations

Taux de dégressivité des longueurs

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Taux de dégressivité des vitesses et des accélérations

Les taux des vitesses et des accélérations sont des taux constants. Celui des vitesses s’obtient en divisant le taux des longueurs par celui des durées…

Cr_V = Cr_L/ Cr_T

… et celui des accélérations en divisant celui des vitesses par celui des durées.

Cr_A = Cr_V/Cr_T(ou Cr_L /Cr_T ²)

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Ces taux permettent d’obtenir la vitesse et l’accélération au dernier rebond, nécessaires au calcul de la phase de roulement.

v_n = v_o . Cr_Vⁿ et a_n = a_o . Cr_Aⁿ

On obtient v_o avec la formule suivante v = l_Ro/t_Ro

et a_o avec celle-ci a = v_Rn – v_Rn+1/ t_Rn – t_Rn+1

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Reste à choisir un nombre de rebonds (n) et un taux de dégressivité pour les longueurs.

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Choix du taux des longueurs

Dans un précédent chapitre, nous avons vu que le taux des longueurs se situe, théoriquement, entre celui des hauteurs et celui des durées, mais que l’on pouvait, en pratique, opter radicalement pour l’un ou l’autre selon l’importance du nombre de rebonds envisagé.

Considérons maintenant l’ajout ou non d’une phase de roulement. Une dégressivité rectiligne s’arrête au dernier rebond, chose impossible. Une dégressivité parabolique fait rouler la balle indéfiniment après le dernier rebond, chose tout aussi impossible. On en revient au choix d’un taux intermédiaire.

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Comme le montre l’analyse sur le taux de dégressivité des longueurs, le choix d’un taux intermédiaire est une subtilité peu visible à l’écran. Pour obtenir une distance de roulement de seulement 1/10ème de celle des rebonds, la courbe de dégressivité doit être proche de la parabole. Qu’on la tende à peine, et la distance de roulement devient presque nulle.

Encore une fois, on peut réduire l’alternative à deux options.

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1ère option

Si on souhaite animer beaucoup de rebonds sans envisager de phase de roulement, on optera pour une dégressivité proportionnelle. Le taux des longueurs vaut celui des hauteurs, la courbe de dégressivité est donc une droite.

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2ème option

Si on souhaite prolonger quelques rebonds d’une phase de roulement, on optera pour une dégressivité parabolique, et ce, quelle que soit la distance d’arrêt envisagée. Le taux des longueurs vaut alors celui des durées, la courbe de dégressivité est une parabole, la vitesse en x est considérée comme constante pendant les rebonds.

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Formules

Réduire les options à ces deux limites normalement impossibles simplifie les calculs.

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La vitesse horizontale de la phase de rebonds est la vitesse initiale de la phase de roulement. On l’obtient en divisant la distance des rebonds par leur durée…

v_o= d_R/ t_R

… ou un nombre quelconque de rebonds divisé par sa durée. Un seul suffit. Par exemple:

v_o= Ro/To

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Une balle capable de rebondir avec une vitesse constante en x devrait rouler ensuite indéfiniment. La faire s’arrêter est donc un choix délibéré. Là encore, deux options se présentent. On cherche..

… soit une distance depuis une durée

Si d = v.t/2 et v_o= d_R/ t_Ralors d_A = d_R. t_A/ 2t_R

… soit une durée depuis une distance

Si t = 2d/v et v_o= d_R/ t_Ralors t_A = 2d_A. t_R/ d_R

Dans les deux cas, on doit déduire ensuite l’accélération pour le calcul de phases intermédiaires.

a = 2d_A/t_A²

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Retenons

Le rapport de durée entre phases de roulement et de rebond est le double du rapport de distance

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Autrement dit, si on envisage une distance de roulement valant 1, 2, 3 fois la distance des rebonds, la durée du roulement doit valoir 2, 4, 6 fois la durée des rebonds.

Simple, non?

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Démonstration par les courbes

Soit une courbe x représentant la distance maximale d’une suite de rebonds à dégressivité parabolique. Cette courbe est donc une droite.

On prolonge la droite, puis on rehausse la distance existante (la verticale en pointillés)…

… de celle qu’on veut attribuer à la phase d’arrêt. On projette ensuite l’extrémité horizontalement sur la droite. Cette projection en pointillés vaut une durée.

On double la durée, puis on termine le rectangle.

Le rectangle est l’enveloppe de la parabole, la droite, sa tangente.

Ajouter une fois la distance des rebonds, c’est ajouter deux fois sa durée.

Ajouter une fois sa durée, c’est ajouter une demi fois sa distance.

Quand la construction de la parabole est comprise, on peut attribuer à la distance de roulement la distance ou la durée que l’on veut, on saura estimer la durée ou la distance correspondante.

Ce n’est tout de même pas plus dur que de monter un meuble en kit, non?

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