DÉGRESSIVITÉ DES LONGUEURS
La trajectoire d’une balle en l’air forme une parabole du moment que sa vitesse est trop faible ou son poids trop important pour que la résistance de l’air affecte son mouvement. La vitesse varie donc en hauteur sous l’effet de la gravité, mais reste constante à l’horizontale, sauf effets de rotation que nous avons écartés.
On peut imaginer une résistance en x au moment des impacts. Nous allons tenter de voir dans quelle mesure à travers une série d’hypothèses dont on peut évaluer la pertinence de façon logique, sans passer par l’expérience.
Hypothèses qui restent à discuter. Physiciens ou mathématiciens, vous pouvez réagir!
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- Courbes de dégressivité
- Les cinq hypothèses
- Choix de la tension
- Comportement des courbes de vitesse
- Obstacle vertical
Courbes de dégressivité
La dégressivité des longueurs a une incidence sur les courbes de dégressivité, courbes qui peuvent relier, au choix, des sommets de paraboles, des angles supérieurs d’enveloppes, ou simplement être tangentes aux paraboles.
Les modèles que nous allons voir ne tiennent pas compte d’éventuels effets de rotation de la balle.
Les cinq hypothèses
Nous avons vu que le taux de dégressivité des hauteurs (CrH), vaut le carré du taux des durées et des vitesses (CrT). Avant de dire lequel attribuer aux longueurs (CrL), nous pouvons faire le point sur des cas limites, possibles ou impossibles.
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1 – Le taux des longueurs est inférieur à celui des hauteurs
Les longueurs se réduisent plus vite que les hauteurs. La courbe de dégressivité s’incurve vers le bas, autrement dit, le déplacement en x se termine avant la fin des rebonds.
L’hypothèse est improbable sur sol horizontal.
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2 – Le taux des longueurs vaut celui des hauteurs
Au moment de l’impact, la somme des forces qui s’opposent à la balle réduisent sa vitesse en x et en y dans les mêmes proportions. Si on admet une telle égalité, la réduction des paraboles est alors proportionnelle, et la courbe de dégressivité est une droite. Cette hypothèse est aussi improbable que la première, et voici pourquoi.
Prenons une dégressivité de 0,5 pour les hauteurs. La dégressivité des longueurs est donc égale, et celle des durées vaut √0,5. Supposons un rebond initial d’une amplitude de 1m et d’une durée de 1s. Sa vitesse en x est donc de 1m/s. Le rebond suivant aura une durée de
1s.√0,5 = √0,5s
… une longueur de
1m. 0,5 = 0,5m
… et une vitesse horizontale de
0,5m/√0,5s = √0,5m/s
La vitesse décroit autant que les durées. Autrement dit, elle est négligeable au dernier rebond, et la balle s’arrête. Sur un sol horizontal, il est improbable qu’une balle ne roule pas après le dernier rebond.
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3 – Le taux des longueurs vaut celui des durées
C’est l’hypothèse d’une absence de frottements en x, donc d’une vitesse constante sur l’ensemble des rebonds. Elle est improbable car elle suppose un temps d’impact qui tend vers 0. Si on admet une telle absence de frottements, il faut l’admettre aussi pendant la phase de roulement, et s’attendre à ce que la balle roule sans fin après le dernier rebond, à vitesse constante.
La limite des rebonds est asymptotique, c’est à dire qu’elle suppose une infinité de rebonds se réduisant infiniment en hauteur, en longueur et en durée. Cette réduction infinie est atteinte et dépassée par le déplacement en x à vitesse constante.
En pratique, les rebonds s’arrêtent avant la limite asymptotique. Cette limite théorique se trouve donc nécessairement en aval du dernier rebond effectif.
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4 – Le taux des longueurs est supérieur à celui des durées
Au lieu d’une résistance en x aux impacts, il y a entraînement. Peu probable sur sol horizontal, sauf à imaginer un vent constant qui pousse la balle. La courbe des vitesses est alors plus convexe qu’une parabole.
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5 – Le taux des longueurs est entre celui des hauteurs et celui des durées.
Quelle que soit la cause qui influe sur la trajectoire de la balle, celle-ci est maintenue dans une zone , limitée par la droite d’une réduction des longueurs selon les hauteurs, et la parabole d’une réduction des longueurs selon les durées. Cette hypothèse, qui synthétise toutes les variations possibles, est la seule admissible sur sol horizontal.
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Nous verrons dans un prochain chapitre que les quatre premières hypothèses, toutes impossibles sur un sol horizontal, deviennent possibles sur une pente.
Choix de la tension
Tendre plus ou moins la courbe de dégressivité entre la droite et la parabole, c’est choisir un taux des longueurs plus ou moins proche de celui des hauteurs ou de celui des durées.
Qu’est-ce qui peut déterminer ce choix?
Comportement de la balle à l’impact. Plus elle s’écrase, plus son vecteur vitesse se redresse (plus la symétrie des tangentes est respectée), moins elle va loin au rebond suivant.
Quelle que soit l’importance de la résistance en x aux impacts, elle n’est pas nulle. Si on la tient pour faible, on peut supposer que son incidence sur la courbe portera sur le nombre de rebonds. Sur quelques uns seulement, la résistance globale en x est négligeable. S’ils sont nombreux, le cumul des résistances en x aux impacts devient globalement sensible.
Seul un taux de 0 correspond à une courbe parfaitement parabolique, autrement dit, s’il y a 0 rebond. Inversement, seul un taux de 1 correspond à une courbe parfaitement rectiligne. Autrement dit, aucune dégressivité, ni en hauteur, ni en longueur. Donc, pas de déplacement en x.
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On peut donc dire qu’une courbe de dégressivité
1 – exprime un taux situé entre deux égalités inatteignables
CrL = CrH et CrL = CrT
2 – dépend d’un nombre de rebonds entre deux extrêmes inatteignables
le 0 et l’infini.
Le taux et le nombre sont donc corrélés.
Nous laisserons ici le physicien trouver le meilleur rapport entre ces deux variables. A l’écran, personne ne remarque qu’une courbe de dégressivité est parabolique ou rectiligne.
Pour l’animateur, la courbe de dégressivité n’est qu’un guide à la construction. Autant alors qu’il choisisse de manière radicale entre la droite et la parabole, selon qu’il envisage d’animer beaucoup ou peu de rebonds. C’est faux en théorie, acceptable en pratique.
Beaucoup ou peu de rebonds, c’est combien? Voici de quoi se faire une idée.
Soit un rebond initial de 1,25m ( 24 p ), et un rebond final de 1 cm ( 2 p ).
CrH =0,9 47 rebonds
CrH =0,8 22 rebonds
CrH =0,7 14 rebonds
CrH =0,6 10 rebonds
CrH =0,5 7 rebonds
CrH =0,4 5 rebonds
CrH =0,3 4 rebonds
CrH =0,2 3 rebonds
CrH =0,1 2 rebonds
Ces résultats s’obtiennent avec des formules logarithmiques vues ici.
Si l’animateur décide que 7 rebonds, c’est beaucoup, il appliquera aux longueurs un taux de 0,5, optant ainsi pour une droite. S’il considère que c’est peu, il leur appliquera un taux de √0,5, optant pour une parabole. Son choix aura plus de conséquence sur la longueur de l’animation que sur la vraisemblance du mouvement à l’écran.
A moins qu’il ne souhaite ajouter une phase de roulement, objet du prochain chapitre.
Comportement des courbes de vitesse
Les courbes de dégressivité présentent un risque de confusion dans la lecture des courbes du diagramme des positions.
La courbe y ressemble à la trajectoire réelle alors qu’elle ne rend compte que des hauteurs distribuées sur l’axe du temps. Comme les durées par rebond sont égales pour les 5 hypothèses, elle vaut donc pour toutes, quelle que soit leur longueur effective.
Les courbes x ressemblent aux courbes de dégressivité tournées d’un quart de tour, alors qu’elles ne rendent compte que du seul déplacement horizontal pour chaque hypothèse. Notons que la courbe de dégressivité de l’hypothèse 2 est une droite et celle de l’hypothèse 3 une parabole, tandis que les courbes x disent l’inverse.
L’aspect segmenté des courbes x indique que les changements de vitesse n’ont lieu qu’aux impacts. Ce sont des saccades (aussi appelées « jerk »), c’est à dire des variations d’accélérations. Entre impacts, la vitesse de la balle est constante en x, autrement dit, l’accélération est nulle.
Obstacle vertical
Sur un seul impact, la résistance en y d’un impact contre un mur est négligeable. On ne considère donc qu’une résistance perpendiculaire au mur et qui réduit ponctuellement la longueur après impact.
Le taux des longueurs n’est pas modifié pour autant sur les rebonds suivants. Mais, il s’applique sur une longueur diminuée d’un certain pourcentage. Sans cette diminution, la trajectoire serait parfaitement symétrique à celle qu’aurait eu la balle sans l’obstacle du mur.
Cette diminution s’applique chaque fois que la balle rencontre un mur.
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© Christophe Clamaron 2020