COURBES
Distinguer deux déplacements dans un mouvement, c’est distinguer deux courbes de vitesses. Ces courbes pourraient faire l’objet de deux diagrammes, mais, en pratique, on les superpose en un seul en les différenciant à l’aide de couleurs, en général le rouge pour l’axe x, le vert pour l’axe y, ou le bleu pour l’axe z.
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- Courbes de trajectoires rectilignes
- Confusions
- Courbes paraboliques de trajectoires rectilignes
- Courbes de trajectoires paraboliques
- Cas de figure
Courbes de trajectoires rectilignes
Voici les courbes d’un mouvement horizontal à vitesse constante…
…celles d’une chute libre…
…d’un lancer vertical…
Ce diagramme montre qu’un schéma des positions par rapport au temps n’est pas nécessairement orthonormé. Quand les distances sont trop faibles pour tracer une courbe correcte, on change l’échelle des distances sans toucher à celle des durées.
…d’un tir sur pente.
Selon que le mobile est à vitesse constante ou qu’il accélère, ses courbes de vitesse sont toutes deux rectilignes ou paraboliques, ou bien l’une est rectiligne et l’autre parabolique. .
Confusions
Faisons ricocher une boule sur les bandes d’un billard carré et voyons l’effet sur les courbes selon différents cas de figures. On considère ici un mouvement cyclique à vitesse constante.
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Première confusion
Le mouvement combine un simple aller retour en x, et un simple aller retour en z. Comme il présente des symétries en tout sens, les courbes forment de simples dents de scie régulières et égales.
Ces courbes sont à comparer à celles d’une balle qui tourne autour d’un axe.
Une courbe peut être rectiligne ou curviligne. La droite n’est qu’une courbe particulière!
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Les similitudes de formes entre courbes et trajectoires sont trompeuses. Si on tente de faire concorder pas à pas les positions de la boule sur le billard et sur le diagramme, on voit bien qu’on ne fait pas le même chemin. La confusion est aussi entre les courbes elles-mêmes, d’où l’intérêt des codes couleurs. Mais on pourrait deviner sans eux laquelle des courbes est celle des x, et laquelle est celle des z, car, à chaque fois, quelque chose les distingue: l’une se colle contre l’axe 0, soit par dessus, soit par dessous, tandis que l’autre le chevauche symétriquement. C’est parce que le va et vient de la balle se fait en 2 temps sur un axe (elle va puis revient au point de départ), en 3 temps sur l’autre (elle va, revient en dépassant le point de départ, et revient de nouveau vers lui).
Pour bien voir ces 2 ou 3 temps, limitons le mouvement à un tour de billard.
Ce 2 ou 3 temps est typique des mouvements en va et vient. En 2 temps, le départ se fait à une extrémité du mouvement. En 3, il se fait quelque part entre les extrémités.
Dans ces premiers exemples, le point de départ de la boule sert à chaque fois de point de référence au mouvement. L’axe 0 d’un diagramme n’est donc pas celui des autres. Ils ne sont donc pas superposables.
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Seconde confusion
Au lieu d’être situé au point de départ de la boule, le point de référence est au centre du mouvement.
Les courbes se ramassent à chaque fois autour de l’axe 0. Difficile cette fois de les identifier relativement à celui-ci sans les couleurs. Par contre, on voit toujours que l’une fait son aller retour en 2 temps, l’autre en 3.
Chaque diagramme présente cette fois le même système de repère. Ils sont, cette fois, superposables.
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Troisième confusion
Les courbes se distinguent clairement dans leur forme dès que les distances en x et en z ne sont plus égales. Par contre, on risque cette fois de rapprocher un peu vite les proportions des courbes de celles du mouvement.
Dans le 1er schéma, il y a similitude entre la hauteur du billard et l’amplitude de la courbe en z. On peut trouver évident que les deux s’étirent dans la même direction…
… mais en basculant le billard d’un quart de tour, c’est la courbe x qui prend en amplitude. Or, en x, le mouvement s’étire à l’horizontal. L’amplitude en z, elle, est toujours identique en distance et en direction à la hauteur du schéma.
Les courbes de ces deux diagrammes ont échangé leur amplitude, et la courbe x du premier diagramme forme un un M, tandis que la courbe y du second forme un W. Hormis cela, on peut dire qu’elles se ressemblent. Pourtant, nous voyons bien qu’elles ne disent pas du tout la même chose.
Courbes paraboliques de trajectoires rectilignes
Si deux courbes rectilignes rendent toujours compte d’un mouvement rectiligne, deux courbes curvilignes ne rendent pas toujours compte d’un mouvement curviligne. C’est le moment d’être attentif.
Avec le ralentissement de la boule de billard, les courbes deviennent paraboliques, bien que la trajectoire reste parfaitement rectiligne. Il n’y a plus de confusion graphique possible, sauf entre les courbes elles-mêmes qui se compensent de manière à assurer la rectitude du trajet, en se suivant ou en s’opposant selon l’orientation du mouvement par rapport au référentiel.
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Voici un mouvement en 2 temps en x, en 3 temps en z.
Comment se plient ces courbes ? Sans obstacle, elles auraient formé des paraboles régulières. La déviation maintient la parabole, mais symétriquement par rapport à l’horizontale, à l’amorti près qui, ici, est éludé.
Si on considère l’amorti, voici 3 effets différents d’une boule tirée sur une bande.
A correspond à une rotation antihoraire de la boule, B à un tir pleine bille, C à une rotation horaire.
Chaque impact influence la forme de la courbe, soit en la pliant, soit en la tassant, très souvent en faisant les deux.
Les courbes montrent l’effet de l’amorti sur la distance, non sur la durée. Pour bien l’estimer, on fait appel à des notions de cinétique, que cette étude n’aborde pas.
Courbes de trajectoires paraboliques
On retrouve une similitude de forme entre la trajectoire d’une balle qui rebondit et sa courbe en y. Comme d’habitude, les deux ne disent pas la même chose, l’une représentant une trajectoire, l’autre un déplacement linéaire corrélé à une durée.
La confusion est facilitée par le fait que leurs mesures horizontales correspondent, mais c’est une coïncidence, même volontaire. Dans le premier cas, la balle évolue dans un repère nécessairement orthonormé, c’est à dire dont les unités en x et en y sont unifiées pour maintenir l’échelle entre les distances, quelle que soit leur orientation. Dans le second, on établit un rapport entre grandeurs de natures différentes. Leurs unités peuvent être unifiées ou non.
L’idée de définir une durée par une distance vient du réflexe que nous avons tous d’imaginer des dates s’égrener le long d’une ligne dès qu’il s’agit de situer des évènements chronologiquement. On produit, sans y penser, un rapport entre espace et temps, rapport bien utile en mathématiques.
Confondre une trajectoire et sa courbe, c’est confondre une distance et une durée. C’est admettre que, si la balle s’arrête sur un axe, le temps s’arrête aussi. Dans le schéma suivant, A, B et C ont la même courbe y. Ce qui les distingue, c’est la courbe x.
La trajectoire et la courbe y du schéma suivant ont graphiquement la même longueur. Mais la longueur de trajectoire indique au sol des distances, la longueur de la courbe des durées sur l’axe des abscisses, qui n’est pas un sol. A mi course, ça ne donne pas la même chose.
Les déplacements horizontaux sont reportés sur l’axe vertical du diagramme.
Cas de figure
La ressemblance est dans la forme, l’analogie, dans le rapport. La ressemblance est trompeuse car immédiate, l’analogie permet de comprendre mais prend du temps.
Les rebonds sur plans verticaux ou sur pente rompent la ressemblance entre la trajectoire d’une balle et sa courbe y. Tandis que l’une change de sens dans l’espace, l’autre continue dans le sien sur l’axe du temps, si bien qu’il est impossible de déceler sur elle un évènement qui a lieu au cours du mouvement, sauf en cas d’amorti au moment de l’impact (dont ne rend pas compte cet exemple). Sans cet effet d’amorti, l’impact se lit sur la courbe des x.
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Dans l’exemple suivant, la courbe y semble reproduire la pente réelle, de façon seulement inversée. Or, elle ne fait qu’indiquer la hauteur de départ et à l’impact.
La pente qu’elle montre est l’effet du temps qui étale les hauteurs le long de son axe. On aurait eu le même effet avec une balle qui rebondit sur place en enfonçant le sol à chaque impact (la courbe en x aurait été plate).
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Dans cet autre exemple, toutes les proportions semblent inversées de la trajectoire à son diagramme. La longue trajectoire en A n’est plus qu’une petite courbe y sur le diagramme, la trajectoire parabolique en B devient une parabole plus large, celle en C, plus contractée. Sur la courbe x, on s’attendrait à une longue distance suivie d’une petite puis d’une grande. Au lieu de cela, on a une espèce de trapèze au sommet penché et évasé.
Encore une fois, on ne prend pas des distances pour des durées.
Le trajet de la balle en A est rapide, l’impact sur pente arrive tôt sur l’axe du temps. Le temps que met la balle à parcourir la trajectoire B, relativement plus long, élargit la parabole B en y. Le temps qu’elle met pour parcourir la trajectoire C, relativement plus court, rétrécit la parabole C en y.
La distance en A est surtout exprimée par la courbe x, par sa pente qui l’étire en hauteur, indiquant du même coup une forte vitesse. La base de la trajectoire B, relativement courte, est exprimée par la faible pente du sommet du trapèze, non par sa longueur. Il en est de même pour le déplacement horizontal de la trajectoire C.
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© Christophe Clamaron 2020