LIMAÇONS
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- Principe
- Courbe des durées
- Observations
- Limites de distances par pentes et par vitesses
- Évolution d’une courbe des durées pour une même vitesse
- Comparaison de courbes de 1s selon différentes vitesses
- Formules
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Principe
Les calculs présentés excluent tout frottement entre la balle et le sol. Les seules forces qui agissent sur elle sont la gravité et l’impulsion au moment du tir.
D’un coup de pied, une balle remonte une pente de 30°, s’arrête, puis redescend la pente. La vitesse initiale est de 10m/s. Tirer une balle à une telle vitesse sur une pente de 30° ne doit pas être facile, mais cet angle offre des rapports de calcul simples avec un mouvement vertical de même vitesse. En effet
Accélération sur pente = (-10m/s²).sin30° soit (-5m/s²).
( Sinus de 30° = 0,5 )
Partant d’une vitesse du tir de 10m/s, on peut calculer la durée et la distance maximale. On peut aussi calculer des distances intermédiaires entre le tir de la balle et son retour. En laissant la balle dévaler la pente, nous obtenons la courbe des vitesses suivantes:
d(t) = (10m/s).t – ½ (5m/s²).t ²
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Courbes de durées
Les deux axes de ce diagramme correspondent à 2 extrêmes. Sur l’axe horizontal, on émet l’hypothèse d’un tir horizontal sans frottement, donc d’un mouvement à vitesse constante. Sur l’axe vertical, on suppose un tir vertical soumis à la gravité.
On passe de l’un à l’autre par des tirs sur pentes de 10° en 10°.
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Toutes les courbes du schéma rendent compte de 1 s de déplacement sur pente en toute direction. On peut donc les appeler courbes de durées (ici, courbe de 1s).
Chacune est tracée selon une vitesse initiale qui lui est propre et qui vaut dans toutes les directions. Ces vitesses sont indiquées en face de la hauteur maximale de chaque courbe, représentée par une ligne en pointillés.
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A la moindre pente, une accélération (négative) est introduite, aussi minime soit-elle. La balle doit alors revenir, quel que soit le temps qu’elle y mette. Un temps très long si la pente est infime. Au plus la pente augmente, au plus diminue la durée du retour. La durée minimale est, bien sûr, à la verticale.
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Un tir vertical d’une certaine vitesse initiale atteint une certaine hauteur maximale. Cette hauteur ne peut être modifiée qu’en modifiant la vitesse initiale. Mais alors… Comment une balle tirée maintes fois à la même vitesse mais sur des pentes allant de 0° à 90°, passe-t-elle d’une hauteur nulle à une hauteur verticale maximale ? Progressivement ?
Non.
La transition n’est progressive que pour la durée. Pour la hauteur, elle est immédiate.
Autrement dit, en supposant une vitesse de tir de 5 m/s, la balle, quelle que soit la pente, atteindra la hauteur de 1,25m, en 0,5s si la trajectoire est verticale, en y mettant le temps nécessaire selon l’inclinaison. De 0° à la moindre pente, elle passe sans transition de 0m à 1,25m.
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Observations
Le relevé d’un mouvement à 1s n’est qu’une étape d’un mouvement plus où moins long. Observons cette courbe selon diverses vitesses.
La hauteur maximale d’un tir à 10m/s est de 5m pour un aller-retour vertical de 2s. La hauteur maximale dure la moitié de la durée totale de l’aller retour, 1s ici. En pente, le mouvement atteint donc toujours la hauteur maximale dans un délai supérieur à 1 seconde.
La hauteur maximale d’un tir à 7,5m/s est de 2,81m pour une durée aller-retour verticale de 1,5s. La moitié de la durée valant 0,75s, le mouvement atteint 1s pendant la phase retour. Pour atteindre la hauteur maximale en 1s, il faut une pente d’environ 50°.
La hauteur maximale d’un tir à 5m/s est de 1,25m pour une durée aller-retour verticale de 1s. 1s est donc à la durée du mouvement. Pour atteindre la hauteur maximale en 1s, il faut une pente de 30°.
En un arc de cercle, on obtient toutes les distances maximales de tir de 1s par pente et par vitesse.
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Limites de distances par pentes et par vitesses
Plus on tire fort le long d’une pente ou à la verticale, plus la balle prend en hauteur. Mais plus elle monte, plus il devient difficile de la faire monter plus.
Ce schéma représente les courbes à 1s de tirs à vitesses toujours plus grandes. Toutes les distances de tir sur 1s à l’horizontale ont été ramenées à la largeur du schéma, sans soucis d’échelle. Ce ne sont pas les rapports de distances entre différents tirs qui nous intéressent ici, mais le rapport entre distance horizontale et hauteur sur une seconde pour chaque vitesse de tir.
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Imaginer atteindre en 1s une hauteur équivalente à la longueur, c’est supposer l’absence de gravité, sauf à imaginer une vitesse initiale tendant vers l’infini à laquelle s’oppose une accélération contraire tendant vers 0. Élevons tant qu’on veut les valeurs, on ne peut faire mieux en hauteur qu’en longueur, quelle que soit la pente. Mais la distance parcourue sera gigantesque, quelle que soit la direction.
C’est pourquoi cette limite maximale dessine un parfait arc de cercle.
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Évolution d’une courbe des durées pour une même vitesse
Ces courbes indiquent les distances toutes les 4 phases d’une balle tirée à 5m/s en tout sens, jusqu’à 24 phases, soit 1s de mouvement.
A
Phase aller retour de tirs ascendants initiés en 0.
B
La phase A terminée ( retour à 0), la balle poursuit sa chute ou sa descente.
C
Deux solutions.
La première, c’est l’hypothèse de tirs descendants initiés en 0.
La seconde, c’est l’hypothèse de tirs ascendants antérieurs à la phase 0. Les vitesses initiales sont donc supérieures à 5m/s. A la courbe -12 par exemple, la vitesse initiale est de 10m/s. A la courbe -24, elle est de 20m/s. Ces vitesses en C sont celles en B, simplement inversées.
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Comparaison de courbes de 1s selon différentes vitesses
Les courbes suivantes correspondent à 1s de tir selon diverses vitesses initiales. Autrement dit, le mouvement, initié en 0, atteindra la courbe au bout de 1 seconde quelle que soit la direction prise.
Chaque courbe rend compte de la gravité en ne dépassant pas le seuil qu’elle impose en hauteur. Ce seuil, représenté par l’horizontale en pointillés, sera atteint par un tir ascendant en n’importe quelle direction, en y mettant le temps qu’il faut selon la pente.
a
Cette courbe reprend celle à 1s (24 p) du schéma vu en 5. Avec un tir vertical, la balle met 1s pour revenir au sol.
La zone A-R (Aller-Retour) indique que, pour que la balle atteigne la courbe des 1s, elle doit d’abord passer par le seuil maximal, c’est à dire, redescendre. Quand le tir est vertical (axe central) la seconde est atteinte au retour à 0. Pour atteindre le seuil au bout d’une seconde, le tir doit suivre une pente de 30°.
Cette figure est un cas particulier du limaçon de Pascal. Son terme mathématique est : cardioïde.
b
Cette courbe indique qu’un tir vertical à 10m/s atteint la hauteur maximale en 1s. L’aller retour vertical fait donc 2s.
c
Celle-ci indique qu’un tir vertical à 20m/s atteint en 1s une hauteur inférieure à la hauteur maximale, atteinte en 2s. L’aller retour vertical fait donc 4 s.
d
Cette courbe suppose une force de tir qui annule la gravité. En 1s, on atteint dans tous les sens une distance infinie. La courbe est donc un cercle.
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Ces courbes pourraient aussi être celles d’un seul mouvement, donc d’une seule vitesse, chacune correspondant alors à une durée différente. Et le cercle? Le seul moment ou le mouvement ne connaît pas de décélération, c’est au moment 0. On a, à 0, une courbe circulaire et… infiniment petite!
Remarque
En faisant glisser le segment AA’ le long de la courbe tout en le faisant coulisser sur le point d’origine du repère (D), il garde toujours la même mesure.
Le cas particulier du cardioïde s’obtient en repérant la trajectoire d’un point quelconque de la circonférence d’un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle de même diamètre.
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Formules
La formule de distance sur pente est simple et évidente. Celle de sa durée l’est moins. Voici comment on y arrive .
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On sait que
g = 2dv/tv² et que av = g.sinus ∝
On peut donc dire que
av = 2dv.sinus ∝ /tv²
On sait aussi que
tv = √(2dv/g) et que tp = √(2dp/ap)
En substituant 2dv.sinus ∝ /tv² à ap , on peut dire…
tp = √(2dp/2dv.sinus ∝ /tv²)
…on simplifie…
tp = √(dp.tv²/dv.sinus ∝)
… on extrait tv² de la racine carrée…
tp = tv.√(dp/dv.sinus ∝)
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© Christophe Clamaron 2020