LA FORMULE QUADRATIQUE
En mathématique, cette formule s’énonce ainsi.
x = [-b ± √ (b²-4ac)]/2a
Adaptée à la cinématique, elle devient
t = [-vo ± √ (vo²-2ad)]/a
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Quand les précédentes formules suffisent
Ce personnage jette une balle en l’air et la rattrape. La durée entre le moment où il lance la balle et celui où il la rattrape est de 1s. On cherche la hauteur maximale du mouvement.
h max = ho + vo.½t + ½ (-g).½t²
la hauteur du lâcher étant donné pour 0m, on peut donc sortir ho de la formule.
½t est la demi durée du mouvement complet, soit 0,5s.
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On trouve d’abord la vitesse initiale vo à l’aide de cette formule
v = vo + g. ½t
v est la vitesse au sommet du mouvement, soit 0m/s
0m/s = vo + (-10m/s²).0,5s
vo = – (-10m/s²).0,5s = 5m/s
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On peut résoudre la première équation
h max = (5m/s).0,5s + ½ (-10m/s²).0,5s² = 1,25 m
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L’exercice peut être proposé avec une vitesse initiale, et on cherche la durée totale du mouvement.
v = vo + g. ½t
t = 2 (v- vo )/ g
= 2 (0m/s – 5m/s )/(-10m/s²)) = 1 s
La formule quadratique
Le personnage lance cette fois la balle au sol, et la rattrape après rebond à la même hauteur. On cherche la durée du mouvement.
Lors d’un rebond, la balle remonte moins vite qu’elle n’est arrivée. Les deux moments ne se valent pas, Il faut décomposer le mouvement.
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1er moment : du lancer jusqu’au sol
La hauteur initiale est de 1m, la hauteur finale de 0m, la vitesse finale, de 4m/s. Avant d’introduire la formule quadratique, cherchons à résoudre le problème à l’aide de formules connues.
Pour trouver la durée, nous devons trouver d’abord la vitesse finale. Pour cela, nous utiliserons la 3ème formule de vitesse instantanée
v² = vo² + 2g√h avec √h = (h – ho)
v² = (-4m/s)² + 2. (-10m/s²).(0m – 1m)
v = +-√36m/s²
v = +- 6m/s
Deux valeurs opposées élevées au carré deviennent égales et positives. Donc, une racine carrée donne deux solutions opposées. Le mouvement allant vers le bas, nous cherchons une vitesse négative. Nous retenons donc
v = -6m/s
Nous pouvons calculer la durée
t = (v-vo)/g
t = ((-6m/s) – (-4m/s))/(-10m/s²)
t = (-2m/s)/(-10m/s²)
t = 0,2s
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La formule quadratique est la synthèse de ces deux formules.
Si t = (v – vo)/g et v = +- √(vo² + 2g√h)
alors
t = [-vo +- √(vo² + 2g√h)]/g
Comme nous l’avons dit, ± indique deux solutions. Il faudra choisir.
= [-(-4m/s) ± √((-4m/s)² + 2(-10m/s²).(0m -1 m)]/(-10m/s²)
=[ (4m/s) ± (6m/s)]/(-10m/s²)
Deux solutions -1s et 0,2s
On sait déjà laquelle choisir : 0,2s.
Mais,… si nous ne le savions pas ?
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La courbe des vitesses est une parabole. Complétons la en remontant dans le temps de manière l’avoir entière sur l’axe horizontal.
0,2 seconde correspond au segment du tir, (- 1 ) seconde, c’est le temps à rebours jusqu’au début de la parabole. Si une balle partait de A en respectant la courbe pour arriver en D au moment ou le personnage lance la sienne, les deux balles arriveraient au sol en même temps.
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En arrangeant ce schéma, on obtient la parabole d’un lancer de même vitesse mais en sens opposé, et qui met 1s à toucher le sol.
La somme des deux lancers opposés vaut la durée complète du mouvement de sol à sol.
Leur différence donne la durée du mouvement au-dessus de 1 mètre. C’est le cas de figure du premier exemple.
Leur demi somme donne la durée du mouvement depuis sa hauteur maximale.
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2ème moment: rebond
t = [-vo +- √(vo² + 2g√h)]/g
= [-(5m/s) ± √((5m/s)² + 2(-10m/s²).(1m – 0m))] /(-10m/s²)
= [-(5m/s) ± (2,24m/s)]/(-10m/s²)
Deux solutions 0,28s et 0,72s
On retient la solution la plus cohérente par rapport à la portion de parabole visible : 0,28s.
Note : les 2 solutions sont cette fois positives, car les deux se trouvent chronologiquement après le départ du sol.
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Somme des deux moments
0,2s + 0,28s = 0,48s
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Exerçons-nous
Le personnage lance la balle en l’air. Comme dans le premier exemple, il la lâche de 1m du sol à 5m/s, mais cette fois, il la rattrape 30 cm plus haut.
t = [-vo ± √(vo² + 2 g.√h)]/g
= [-(5m/s) ± √((5m/s)² + 2(-10m/s²).(0,30m-0m))]/(-10m/s²)
= [-(5m/s) ± (4,36m/s)]/(-10m/s²)
Solutions 0,06s et 0,94s
La première solution atteint 30cm en montant, la seconde atteint le même point après passage par le sommet. La bonne est donc la seconde. En additionnant les deux, on obtient la durée du premier exemple, soit 1 seconde.
Profitons-en pour indiquer la vitesse au rattrapage.
v = g.t + vo
v = (-10m/s²).0,94s + 5m/s
v = -4,4m/s
Les 3 solutions du discriminant
Le personnage jette la balle de 1m mais la rattrape à 1,25m.
t = [-vo ± √(vo² + 2 g.√h)]/g
= [-(5m/s) ± √((5m/s)² + 2(-10m/s²).(1,25m- 0m))] /(-10m/s²)
= [-(5m/s) ± 0 ]/(-10m/s²) = 0,5s
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Dans cet exemple, le monôme √(vo² + 2 g.√h) est égal à 0. Il est donc sans effet sur la formule. Arrêtons nous un instant sur ce point.
Le monôme vo² + 2 g.√h s’appelle le discriminant, terme qui renvoie au fait qu’il indique deux instants disposés symétriquement par rapport au sommet de la parabole.
Le discriminant est une somme de 2 monômes, vo² et 2g.√h. Une somme de 2 monômes donne lieu à 3 possibilités.
1 – somme > 0
Le résultat de la formule donne 2 solutions, deux durées symétriques au sommet du mouvement.
2 – somme = 0
Le discriminant sort de la formule, reste une solution t = v/g
Cette formule permet de calculer une durée jusqu’au sommet de la parabole. Autrement dit, elle calcule une distance d’arrêt ou depuis un arrêt. C’est le cas dans notre exemple.
3 – somme < 0
La racine d’un nombre inférieur à 0 n’existe pas, il n’y a donc pas de solution. La parabole ne croise pas l’axe du temps. Cela a du sens en mathématique, pas en cinématique. Quand on tombe sur ce cas, il faut vérifier ses calculs.
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Terminons par la somme des deux moments:
t = 0,2s + 0,5s = 0,7s
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Un dernier pour la forme
Le personnage laisse cette fois la balle atteindre le sommet de trajectoire et la récupère quand elle redescend, à 1m. Les résultats déjà obtenus suffisent à résoudre le problème.
Lancer avant rebond : on sait que la chute dure 0,2 s.
Après rebond jusqu’au sommet : on sait qu’une balle qui part en l’air à 5m/s atteint la hauteur maximale, 1,25m, au bout de 0,5 s.
Chute avant rattrapage : on sait que la remontée à 1m à une vitesse de 5m/s dure 0,28s. Donc, la chute du sommet à 1m vaut 0,5s – 0,28s soit 0,22s
Somme des 3 moments : 0,2s + 0,5s + 0,22s = 0,92s
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© Christophe Clamaron 2020