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SUITES GÉOMÉTRIQUES

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1. Calcul d’un terme
2. Somme d’une suite de termes
3. Limite asymptotique d’une suite de termes
4. Identifier le coefficient de réduction
5. Identifier un terme initial
6. Logarithme

  U_o   ?   U₁   ?   U₂   ?   U₃   ?   U₄   ?   etc.

      .q           .q            .q            .q           .q              –

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Calcul d’un terme « U »

U_n = U_n-1 . Cr_U        ou        U_n = U_o . Cr_Uⁿ

Dans une suite de rebonds, U devient H hauteurs

L longueurs

T durées

V vitesses

A accélérations

La raison q devient le taux de dégressivité, dont l’abréviation retenue est Cr (pour coefficient de restitution). Chaque terme a son propre Cr.

Pour le calcul d’une hauteur, par exemple :

h_n = h_n-1 . Cr_H      ou      h_n = h_o . Cr_Hⁿ

Reste à définir le Cr selon le paramètre à calculer. Tous sont globalement corrélés.

Taux :

                   hauteurs              Cr_H = Cr_T²

                   durées                  Cr_T = √Cr_H    ou     Cr_H^1/2

                  longueurs             Cr_L = Cr_H       si       Cr_A = 1

                                                      Cr_L = Cr_T       si       Cr_A = 1,41

                    Cr_H > Cr_L > Cr_T           si résistance quelconque en x

                  vitesses                 Cr_VH = Cr_H / Cr_T = Cr_T²/Cr_T = Cr_T

                                                      Cr_VL = Cr_L / Cr_T

                   accélérations     Cr_AH = Cr_VH / Cr_T = Cr_H / Cr_T²

                                                       Cr_AL = Cr_VL / Cr_T = Cr_L / Cr_T²

Les formules suivantes intègrent le terme générique U. Il faut lui substituer le paramètre à calculer.

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Somme d’une suite de termes « U »

Som_Un = U_o .(1 – Cr_U ⁿ⁺¹) / (1 – Cr_U)

Maintenant,

Si      n = ∞        alors      Cr → 0

autrement dit

(1 – Cr ⁿ⁺¹) = 1

et sort de la formule. On obtient alors…

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Limite asymptotique d’une suite de termes « U »

Lim_U∞ = U_o / (1 – Cr_U)

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Identifier le coefficient de réduction (Cr)

                   depuis 2 termes successifs             Cr_U = U_n / U_n-1

                   depuis un nombre n de termes      Cr_U = (U_f /U_o) ^1/n

                   depuis U_o et Lim_U                              Cr_U = (Lim_U∞ – U_o)/ Lim_U∞

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Identifier le terme initial    U_o

             depuis un terme            U_o = U_n /Cr_Uⁿ

             depuis une somme      U_o = Som_Un .(1- Cr_U)/(1 – Cr_Uⁿ⁺¹)

             depuis une limite          U_o = Lim_U∞ .(1- Cr_U)

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Logarithme

Il s’agit cette fois de trouver un nombre de rebonds entre deux extrêmes de hauteurs d’après un Cr déterminé. Dans d’autres formules, ce nombre de rebonds correspond à la puissance du Cr. Retrouver une puissance, c’est chercher un logarithme.

Si   2³ = 8   alors   3   est le logarithme de   8   en base   2    →    3 = log₂8

Soit b le nombre dont on cherche le logarithme, a sa base, n la puissance. On peut dire :

Si        aⁿ = b          alors        nlog_a = log_b

donc

n = log_b / log_a

Si      U_n = U_{o .} Cr_Uⁿ        alors        n = log (U_n / U_o ) /log Cr_U

Si     h_o = 1m     et     h_n = 0,01m

alors

n = log ( 0,01/1) /log 0,5 = 7 hauteurs

Le résultat n’est pas tout à fait 7, mais n ne peut être qu’un entier.

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© Christophe Clamaron 2020