Taux de dégressivité
des vitesses et des accélérations.
par Christophe Clamaron
Sachant qu’il est possible, grâce aux formules de suites géométriques, de connaitre à l’avance la distance au sol et la durée au dernier rebond, je me suis dit qu’il était possible de savoir à l’avance la vitesse et l’accélération nécessaire au calcul de la phase de roulement.
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TABLEAUX
Les trois tableaux suivants listent les premières valeurs d’une suite calculée avec un taux de dégressivité de √0,5 (0,707) appliqué aux durées, donc de 0,5 aux hauteurs, et trois différents taux appliqués aux longueurs. Les vitesses sont celles constantes en x par rebond, les accélérations sont celles au moment des impacts. On obtient les premières en divisant la longueur de chaque rebond par sa durée, les secondes en divisant l’écart de vitesse entre deux rebonds par leur écart de durée.
v = lRo/tRo a = vRn – vRn+1/ tRn – tRn+1
En première approche, les taux des vitesses et des accélérations sont obtenues en calculant le rapport entre deux vitesses et deux accélérations successives.
CrV = vn+1 / vn CrA = an+1 / an
Premier tableau
Le taux des longueurs est celui des hauteurs ( CrL = CrH )
|
Rebond |
Durées |
Taux |
Cumul |
Longueurs |
taux |
Cumul |
Vitesse |
taux |
accélération |
taux |
|||
|
R0 |
1,00 |
0,71 |
1,00 |
1,00 |
0,50 |
1,00 |
1,00 |
0,71 |
R1 |
– 1,00 |
1,00 |
||
|
R1 |
0,71 |
0,71 |
1,71 |
0,50 |
0,50 |
1,50 |
0,71 |
0,71 |
R0 |
à |
R1 |
– 1,00 |
1,00 |
|
R2 |
0,50 |
0,71 |
2,21 |
0,25 |
0,50 |
1,75 |
0,50 |
0,71 |
R1 |
à |
R2 |
– 1,00 |
1,00 |
|
R3 |
0,35 |
0,71 |
2,56 |
0,13 |
0,50 |
1,88 |
0,35 |
0,71 |
R2 |
à |
R3 |
– 1,00 |
1,00
|
Second tableau
Le taux des longueurs est entre ceux des hauteurs et des durées (CrH < CrL < CrT)
|
Rebond |
Durées |
Taux |
Cumul |
Longueurs |
taux |
Cumul |
Vitesse |
taux |
accélération |
taux |
|||
|
R0 |
1,00 |
0,71 |
1,00 |
1,00 |
0,60 |
1,00 |
1,00 |
0,85 |
R1 |
– 0,43 |
1,20 |
||
|
R1 |
0,71 |
0,71 |
1,71 |
0,60 |
0,60 |
1,60 |
0,85 |
0,85 |
R0 |
à |
R1 |
– 0,52 |
1,20 |
|
R2 |
0,50 |
0,71 |
2,21 |
0,36 |
0,60 |
1,96 |
0,72 |
0,85 |
R1 |
à |
R2 |
– 0,62 |
1,20 |
|
R3 |
0,35 |
0,71 |
2,56 |
0,22 |
0,60 |
2,18 |
0,61 |
0,85 |
R2 |
à |
R3 |
– 0,74 |
1,20 |
Troisième tableau
Le taux des longueurs est celui des durées (CrL = CrT)
|
Rebond |
Durées |
Taux |
Cumul |
Longueurs |
taux |
Cumul |
Vitesse |
taux |
accélération |
taux |
|||
|
R0 |
1,00 |
0,71 |
1,00 |
1,00 |
0,71 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
R1 |
– 0,00 |
1,41 |
||
|
R1 |
0,71 |
0,71 |
1,71 |
0,71 |
0,71 |
1,71 |
1,00 |
1,00 |
R0 |
à |
R1 |
– 0,00 |
1,41 |
|
R2 |
0,50 |
0,71 |
2,21 |
0,50 |
0,71 |
2,21 |
1,00 |
1,00 |
R1 |
à |
R2 |
– 0,00 |
1,41 |
|
R3 |
0,35 |
0,71 |
2,56 |
0,35 |
0,71 |
2,56 |
1,00 |
1,00 |
R2 |
à |
R3 |
– 0,00 |
1,41 |
2
OBSERVATIONS
Première observation
Les taux des vitesses et des accélérations sont constants. Celui des vitesses vaut le taux des longueurs divisé par le taux des durées…
CrV = CrL / CrT
1er tableau = 0,5 / √0,5 = √0,5
2ème tableau = 0,6 / √0,5 = 0,85
3ème tableau = √0,5 / √0,5 = 1,00
… et celui des accélération vaut le taux des vitesses divisé par le taux des durées.
CrA = CrV / CrT (ou CrL / CrT ² )
1er tableau = √0,5 / √0,5 = 1,00
2ème tableau = 0,85 / √0,5 = 1,20
3ème tableau = 1,00 / √0,5 = 1,41
Plus simplement, il vaut deux fois le taux des longueurs.
CrA = CrL . 2
1er tableau = 2. 0,5 = 1,00
2ème tableau = 2. 0,6 = 1,20
3ème tableau = 2. √0,5 = 1,41
Maintenant que l’on sait les définir, on sait comment obtenir la vitesse et l’accélération au dernier rebond, nécessaires au calcul de la phase de roulement.
vn = vo . CrVn et an = ao . CrAn
Reste à déterminer un nombre de rebonds (n) et à choisir un taux pour les longueurs.
Seconde observation
Après un 1er rebond, l’accélération est constante à 1m/s² si
CrL = CrH
augmente si
CrH < CrL < CrT
nulle si
CrL = CrT
Autrement dit, quand le taux des longueurs vaut celui des hauteurs, leur dégressivité est une décélération constante, cas particulier signalé plus haut. Quand il vaut celui des durées, l’accélération est nulle et la vitesse est constante. Nous savons ces deux cas impossibles sur sol horizontal, mais ils forment des limites entre lesquelles doit être choisi le taux des longueurs.
Troisième observation
Les vitesses et les accélérations ayant un taux constant, on peut calculer leurs limites. Ce tableau présente différents taux appliqués aux longueurs, situés entre celui des hauteurs, fixé à 0,5, et celui des durées, fixé à ?0,5, soit ? 0,707.
Quand le taux des longueurs évolue de celui des hauteurs à celui des durées, autrement dit,
quand LimL évolue de LimH à LimT
alors LimV évolue de LimT à ∞
et LimA évolue de ∞ à 0
Quatrième observation
Pour la vitesse et l’accélération, on pourrait distinguer leur taux relié aux hauteurs (CrVH et CrAH), et leur taux relié aux longueurs (CrVL et CrAL).
Cependant, le taux des vitesses en y vaut celui des durées car
si CrVH = CrH / CrT et CrH = CrT²
alors
CrVH = CrT²/ CrT
autrement dit
CrVH = CrT
Par ailleurs
si CrAH = CrVH / CrT et CrVH = CrT
alors
CrAH = 1
ce qui confirme l’accélération constante.
© Christophe Clamaron 2020