DISTANCE DE ROULEMENT – Étude n°1


Taux de dégressivité VS formules cinématiques

pour calculer les hauteurs et les longueurs d’une suite de rebonds

par Christophe Clamaron

 

N’étant pas mathématicien, je me suis demandé si, par hasard, au lieu d’utiliser un taux de dégressivité pour calculer des hauteurs de rebonds, il n’était pas possible d’utiliser les formules cinématiques.

La réponse est oui, mais elle est mauvaise …


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Concernant les hauteurs

 

Calcul par un taux de dégressivité

Calculer une dégressivité consiste à obtenir chaque terme d’une suite en appliquant au terme précédent un coefficient inférieur à 1.

Exemple avec un taux des hauteurs de 0,5

hRo = 1,25m        donc        hR1 = 1,25m . 0,5 = 0,63m

tRo = 1s       donc        tR1 = 1s . √0,5 = 0,71s

vR0 = 5m/s        donc        vR1 = 5m/s . √0,5 = 3,54m/s

 

Calcul par une formule cinématique

Calculer une décélération constante consiste à répéter chaque seconde la distance parcourue la seconde précédente, diminuée d’une distance toujours identique.

(en tenant compte que la durée d’une hauteur est la moitié de celle d’un rebond).

hR1 = 3,54m/s . (0,71s / 2) – 1/2 (10m/s²) . (0,71s / 2)² = 0,63m

tR1 = 2 . √(2.1,25m/(10m/s²)) = 0,71s

vR1 = 2 . 1,25m . (0,71s / 2) = 3,54m/s

On peut donc obtenir une suite de hauteurs autant en leur appliquant un taux de dégressivité qu’en utilisant une formule cinématique.

On peut vérifier ces calculs par un diagramme : sur la courbe y, les sommets se distribuent le long d’une parabole. En réduisant le mouvement à ces sommets, on obtient donc le mouvement d’une balle qui tombe en décélération constante.Un taux de dégressivité synchronise donc bien hauteurs, durées et vitesses. Cependant, on pourrait s’en passer et calculer les sommets à l’aide d’une formule cinématique.

Pour cela, il faut disposer d’une vitesse initiale, d’une accélération et d’une durée d’atterrissage corrélées à l’ensemble du mouvement. L’accélération ne peut être la force de gravité, et la durée doit débuter au sommet du 1er rebond. Il faut donc retrancher 1/2 Ro de la durée totale.

 

LimT∞ atterrissage = LimT∞ rebonds – (½ tRo)

 

Soit un rebond Ro d’une hauteur hRo de 1,25m, d’une durée tRo de 1s. La dégressivité est de 0,5.

LimT∞ =   tRo / (1-√Cr) (½ tRo)

= 1s/(1-√0,5) – (½ 1s) = 2,91s

Vitesse vy  =  2.h/LimT∞

=  2.1,25m/2,91s    ≈    0,86m/s

Accélération ay  2.h/LimT∞ ²   ou   v/t

= (0,86m/s)/2,91s    =     0,294 m/s²

 

Désormais, en adaptant la formule cinématique…

d = do + vo.t + 1/2a.t²      devient      hRn = hRo – vy .t + ½ ay . t²

… on calcule les positions à chaque seconde de décélération…

hR(0s) = 1,25m – (0,86m/s) . 0s + ½ (0,294m/²) . 0S² = 1,25m

hR(1s) = 1s . 1s² = 0,54m

hR(2s) = 2s . 2s² = 0,12m

… ou les sommets d’une suite de rebonds si on dispose soit de leurs durées, soit des vitesses aux impacts, que l’on obtient en calculant au préalable leur dégressivité.

La démonstration confirme l’égalité des deux méthodes dans le calcul des hauteurs. Elle permet surtout de constater que l’application d’un taux de dégressivité est plus simple et plus rapide qu’une formule cinématique.


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Concernant les longueurs

 

Fort de cette première démonstration, on pourrait imaginer qu’il se passe la même chose avec les longueurs, de sorte qu’une balle qui rebondit et une autre roulant au sol avec les mêmes conditions initiales en x puissent se rencontrer aux impacts. Cela reviendrait à distribuer une suite de rebonds le long d’une décélération au sol qui recouvre les deux phases du mouvement. La transition serait naturellement assurée.

Comparons la suite que l’on obtiendrait avec une autre obtenue avec un taux de dégressivité.

 

 

Les impacts ne correspondent pas. Une succession de ralentissements en saccades ne produit pas globalement une décélération constante.

Sauf dans un cas: la dégressivité proportionnelle, dont nous avons vu que la courbe x des rebonds faisait une parabole. Mais alors,…

…pas de phase de roulement!

 


© Christophe Clamaron 2020

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