TROIS ÉTUDES SUR LES TAUX DE DÉGRESSIVITÉ
par C. Clamaron
L’auteur n’étant pas tamponné physicien, il se peut qu’il raconte des bêtises. Le lecteur n’est donc pas tenu de se fier à ses analyses, et est invité à les vérifier.
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- Étude n°1 : Taux de dégressivité VS formules cinématiques
- Etude n°2 : Taux de dégressivité des vitesses et des accélérations
- Etude n°3 : Taux de dégressivité des longueurs d’une suite de rebonds
Taux de dégressivité VS formules cinématiques
pour calculer les hauteurs et les longueurs d’une suite de rebonds
N’ayant pas l’esprit mathématicien, je me suis demandé si, par hasard, au lieu d’utiliser un taux de dégressivité pour calculer des hauteurs de rebonds, il n’était pas possible d’utiliser les formules cinématiques.
La réponse est oui, mais l’idée n’est pas la meilleure.
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CONCERNANT LES HAUTEURS
Calcul par un taux de dégressivité
Calculer une dégressivité consiste à obtenir chaque terme d’une suite en appliquant au terme précédent un coefficient inférieur à 1.
Exemple avec un taux des hauteurs de 0,5
hRo = 1,25m donc hR1 = 1,25m . 0,5 = 0,63m
tRo = 1s donc tR1 = 1s . √0,5 = 0,71s
vR0 = 5m/s donc vR1 = 5m/s . √0,5 = 3,54m/s
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Calcul par une formule cinématique
Calculer une décélération constante consiste à répéter chaque seconde la distance parcourue la seconde précédente, diminuée d’une distance toujours identique.
(en tenant compte que la durée d’une hauteur est la moitié de celle d’un rebond).
hR1 = 3,54m/s . (0,71s / 2) – 1/2 (10m/s²) . (0,71s / 2)² = 0,63m
tR1 = 2 . √(2.1,25m/(10m/s²)) = 0,71s
vR1 = 2 . 1,25m . (0,71s / 2) = 3,54m/s
On peut donc obtenir une suite de hauteurs autant en leur appliquant un taux de dégressivité qu’en utilisant une formule cinématique.
On peut vérifier ces calculs par un diagramme : sur la courbe y, les sommets se distribuent le long d’une parabole. En réduisant le mouvement à ces sommets, on obtient donc le mouvement d’une balle qui tombe en décélération constante.Un taux de dégressivité synchronise donc bien hauteurs, durées et vitesses. Cependant, on pourrait s’en passer et calculer les sommets à l’aide d’une formule cinématique.
Pour cela, il faut disposer d’une vitesse initiale, d’une accélération et d’une durée d’atterrissage corrélées à l’ensemble du mouvement. L’accélération ne peut être la force de gravité, et la durée doit débuter au sommet du 1er rebond. Il faut donc retrancher 1/2 Ro de la durée totale.
LimT∞ atterrissage = LimT∞ rebonds – (½ tRo)
Soit un rebond Ro d’une hauteur hRo de 1,25m, d’une durée tRo de 1s. La dégressivité est de 0,5.
LimT∞ = tRo / (1-√Cr) – (½ tRo)
= 1s/(1-√0,5) – (½ 1s) = 2,91s
Vitesse vy = 2.h/LimT∞
= 2.1,25m/2,91s ≈ 0,86m/s
Accélération ay = 2.h/LimT∞ ² ou v/t
= (0,86m/s)/2,91s = 0,294 m/s²
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Désormais, en adaptant la formule cinématique…
d = do + vo.t + 1/2a.t² devient hRn = hRo – vy .t + ½ ay . t²
… on calcule les positions à chaque seconde de décélération…
hR(0s) = 1,25m – (0,86m/s) . 0s + ½ (0,294m/²) . 0S² = 1,25m
hR(1s) = 1s . 1s² = 0,54m
hR(2s) = 2s . 2s² = 0,12m
… ou les sommets d’une suite de rebonds si on dispose soit de leurs durées, soit des vitesses aux impacts, que l’on obtient en calculant au préalable leur dégressivité.
Si la démonstration confirme l’égalité des deux méthodes dans le calcul des hauteurs, elle permet aussi de constater qu’appliquer un taux de dégressivité est bien plus simple et rapide que de passer par une formule cinématique.
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CONCERNANT LES LONGUEURS
Fort de la démonstration précédente, on pourrait imaginer qu’il se passe la même chose avec les longueurs, de sorte qu’une balle qui rebondit et une autre roulant au sol avec les mêmes conditions initiales en x puissent se rencontrer aux impacts. Cela reviendrait à distribuer une suite de rebonds le long d’une décélération au sol qui recouvre les deux phases du mouvement. La transition serait naturellement assurée.
Comparons la suite que l’on obtiendrait avec une autre obtenue avec un taux de dégressivité.
Les impacts ne correspondent pas. Une succession de ralentissements en saccades ne produit pas globalement une décélération constante, sauf dans un cas: la dégressivité proportionnelle, dont nous avons vu que la courbe x des rebonds faisait une parabole. Mais dans ce cas, pas de phase de roulement.
Taux de dégressivité des vitesses et des accélérations
Sachant qu’il est possible, grâce aux formules de suites géométriques, de connaitre à l’avance la distance au sol et la durée au dernier rebond, je me suis dit qu’il était possible de savoir à l’avance la vitesse et l’accélération nécessaire au calcul de la phase de roulement.
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TABLEAUX
Les trois tableaux suivants listent les premières valeurs d’une suite calculée avec un taux de dégressivité de √0,5 (0,707) appliqué aux durées, donc de 0,5 aux hauteurs, et trois différents taux appliqués aux longueurs. Les vitesses sont celles constantes en x par rebond, les accélérations sont celles au moment des impacts. On obtient les premières en divisant la longueur de chaque rebond par sa durée, les secondes en divisant l’écart de vitesse entre deux rebonds par leur écart de durée.
v = lRo/tRo a = vRn – vRn+1/ tRn – tRn+1
En première approche, les taux des vitesses et des accélérations sont obtenues en calculant le rapport entre deux vitesses et deux accélérations successives.
CrV = vn+1 / vn CrA = an+1 / an
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Premier tableau
Le taux des longueurs est celui des hauteurs ( CrL = CrH )
|
Rebond |
Durées |
Taux |
Cumul |
Longueurs |
taux |
Cumul |
Vitesse |
taux |
accélération |
taux |
|||
|
R0 |
1,00 |
0,71 |
1,00 |
1,00 |
0,50 |
1,00 |
1,00 |
0,71 |
R1 |
– 1,00 |
1,00 |
||
|
R1 |
0,71 |
0,71 |
1,71 |
0,50 |
0,50 |
1,50 |
0,71 |
0,71 |
R0 |
à |
R1 |
– 1,00 |
1,00 |
|
R2 |
0,50 |
0,71 |
2,21 |
0,25 |
0,50 |
1,75 |
0,50 |
0,71 |
R1 |
à |
R2 |
– 1,00 |
1,00 |
|
R3 |
0,35 |
0,71 |
2,56 |
0,13 |
0,50 |
1,88 |
0,35 |
0,71 |
R2 |
à |
R3 |
– 1,00 |
1,00
|
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Second tableau
Le taux des longueurs est entre ceux des hauteurs et des durées (CrH < CrL < CrT)
|
Rebond |
Durées |
Taux |
Cumul |
Longueurs |
taux |
Cumul |
Vitesse |
taux |
accélération |
taux |
|||
|
R0 |
1,00 |
0,71 |
1,00 |
1,00 |
0,60 |
1,00 |
1,00 |
0,85 |
R1 |
– 0,43 |
1,20 |
||
|
R1 |
0,71 |
0,71 |
1,71 |
0,60 |
0,60 |
1,60 |
0,85 |
0,85 |
R0 |
à |
R1 |
– 0,52 |
1,20 |
|
R2 |
0,50 |
0,71 |
2,21 |
0,36 |
0,60 |
1,96 |
0,72 |
0,85 |
R1 |
à |
R2 |
– 0,62 |
1,20 |
|
R3 |
0,35 |
0,71 |
2,56 |
0,22 |
0,60 |
2,18 |
0,61 |
0,85 |
R2 |
à |
R3 |
– 0,74 |
1,20 |
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Troisième tableau
Le taux des longueurs est celui des durées (CrL = CrT)
|
Rebond |
Durées |
Taux |
Cumul |
Longueurs |
taux |
Cumul |
Vitesse |
taux |
accélération |
taux |
|||
|
R0 |
1,00 |
0,71 |
1,00 |
1,00 |
0,71 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
R1 |
– 0,00 |
1,41 |
||
|
R1 |
0,71 |
0,71 |
1,71 |
0,71 |
0,71 |
1,71 |
1,00 |
1,00 |
R0 |
à |
R1 |
– 0,00 |
1,41 |
|
R2 |
0,50 |
0,71 |
2,21 |
0,50 |
0,71 |
2,21 |
1,00 |
1,00 |
R1 |
à |
R2 |
– 0,00 |
1,41 |
|
R3 |
0,35 |
0,71 |
2,56 |
0,35 |
0,71 |
2,56 |
1,00 |
1,00 |
R2 |
à |
R3 |
– 0,00 |
1,41 |
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OBSERVATIONS
Première observation
Les taux des vitesses et des accélérations sont constants. Celui des vitesses vaut le taux des longueurs divisé par le taux des durées…
CrV = CrL / CrT
1er tableau = 0,5 / √0,5 = √0,5
2ème tableau = 0,6 / √0,5 = 0,85
3ème tableau = √0,5 / √0,5 = 1,00
… et celui des accélération vaut le taux des vitesses divisé par le taux des durées.
CrA = CrV / CrT (ou CrL / CrT ² )
1er tableau = √0,5 / √0,5 = 1,00
2ème tableau = 0,85 / √0,5 = 1,20
3ème tableau = 1,00 / √0,5 = 1,41
Plus simplement, il vaut deux fois le taux des longueurs.
CrA = CrL . 2
1er tableau = 2. 0,5 = 1,00
2ème tableau = 2. 0,6 = 1,20
3ème tableau = 2. √0,5 = 1,41
Maintenant que l’on sait les définir, on sait comment obtenir la vitesse et l’accélération au dernier rebond, nécessaires au calcul de la phase de roulement.
vn = vo . CrVn et an = ao . CrAn
Reste à déterminer un nombre de rebonds (n) et à choisir un taux pour les longueurs.
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Seconde observation
Après un 1er rebond, l’accélération est constante à 1m/s² si
CrL = CrH
augmente si
CrH < CrL < CrT
nulle si
CrL = CrT
Autrement dit, quand le taux des longueurs vaut celui des hauteurs, leur dégressivité est une décélération constante, cas particulier signalé plus haut. Quand il vaut celui des durées, l’accélération est nulle et la vitesse est constante. Nous savons ces deux cas impossibles sur sol horizontal, mais ils indiquent les limites entre lesquelles doit être choisi le taux des longueurs.
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Troisième observation
Les vitesses et les accélérations ayant un taux constant, on peut calculer leurs limites. Ce tableau présente différents taux appliqués aux longueurs, situés entre celui des hauteurs, fixé à 0,5, et celui des durées, fixé à ?0,5, soit ? 0,707.
Quand le taux des longueurs évolue de celui des hauteurs à celui des durées, autrement dit,
quand LimL évolue de LimH à LimT
alors LimV évolue de LimT à ∞
et LimA évolue de ∞ à 0
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Quatrième observation
Pour la vitesse et l’accélération, on pourrait distinguer leur taux relié aux hauteurs (CrVH et CrAH), et leur taux relié aux longueurs (CrVL et CrAL).
Cependant, le taux des vitesses en y vaut celui des durées car
si CrVH = CrH / CrT et CrH = CrT²
alors
CrVH = CrT²/ CrT
autrement dit
CrVH = CrT
Par ailleurs
si CrAH = CrVH / CrT et CrVH = CrT
alors
CrAH = 1
ce qui confirme l’accélération constante.
Taux de dégressivité des longueurs d’une suite de rebonds
Soit une suite sur laquelle on applique un taux de 0,5 aux hauteurs, donc de √0,5 aux durées. Le choix d’un taux pour les longueurs se situe donc entre 0,5 et 0,707.
Ce tableaux présente les vitesses et accélérations obtenues au 7ème rebond selon différents taux appliqués aux longueurs, la distance de roulement qui en résulte, et le rapport rebonds /roulement (la somme des rebonds et non leur limite asymptotique)
La phase de roulement commence à être conséquente quand le taux appliqué aux longueurs est proche de l’extrémité haute, à savoir 0,707. La balle roulera sur une distance d’à peine 0,01 x la phase de rebonds avec un taux de 0,6, et de la moitié avec un taux de 0,7. Il faut monter à 0,703 pour que les deux phases soient égales. Dans une marge très réduite (0,02 x), la phase de roulement passe du double des rebonds à une distance infinie.
Le schéma suivant met en rapport une trajectoire réelle, réduite au premier rebond et à des courbes de dégressivité correspondant à différents taux des longueurs, avec un diagramme des positions pivoté d’un quart de tour. Les courbes x indiquent par projection verticale les longueurs sur le sol.
Ces résultats se vérifient, quel que soit le taux attribué aux longueurs.
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© Christophe Clamaron 2020