DÉRIVÉES ET INTÉGRALES

Calculer la dérivée d’une fonction, c’est calculer son taux de variation. Calculer une intégrale, c’est calculer la valeur ponctuelle d’une fonction à partir de son taux de variation. Ces deux notions fonctionnent donc en miroir.

Par exemple

v = d/t et v = 2d/t

sont deux formules de calcul de dérivées, tandis que

d = v.t et d = v.t/2

sont deux formules de calcul d’intégrales.

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Dérivée
Dérivée de dérivée
Traduction en formule cinématiques
La règle des puissances
Conclusion sur les dérivées
Intégrales

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Dérivée

La vitesse est la dérivée de la distance en fonction du temps. Comme elle-même évolue en fonction du temps, elle a sa propre dérivée : l’accélération.

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Une vitesse moyenne se calcule avec

v(t) = ∆d / ∆t

formule simplifiée de

v(t) = (d₂ – d₁) / (t₂ – t₁)

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Le calcul d’une distance ou d’une vitesse dépend de la durée choisie. C’est le sens de la formulation

d(t) = distance en fonction du temps

v(t) = vitesse en fonction du temps

d(t) est une fonction. On peut se suffire de d ou l’appeler f(t), notation propre à la fonction.

v(t) est une fonction de fonction. On peut se suffire de v, ou l’appeler f’(t), notation propre à la dérivée.

v(t) = ∆d / ∆t

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Quelque chose en fonction d’autre chose, c’est f (autre chose)

d en fonction de t c’est d(t) ou f(t)

d₁ en fonction de t₁c’est d₁(t₁) ou f (t₁)

d₂ en fonction de t₂c’est d₂(t₂) ou f (t₂)

v en fonction de t c’est v(t) ou f’(t)v

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On peut donc écrire

f’(t) = [f(t₂) – f(t₁)] / (t₂ – t₁)

si ∆t = t₂ – t₁alors t₂= t₁ + ∆t

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En remplaçant t₂ par t₁+∆t, on obtient

v(t) = [f(t₁ + ∆t) – f(t₁)] / (t₁ + ∆t – t₁)

plus simplement

v(t) = [f(t + ∆t) – f(t)] / ∆t

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Cette formule de la dérivée est développée de

v(t) = (d₂ – d₁) / (t₂ – t₁)

fonction résumée par

v(t) = ∆d / ∆t

Si ∆t tend vers 0, ∆d aussi. Or, diviser 0 par 0 ne nous avance pas.

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Retour à la définition : une dérivée mesure l’évolution d’une autre fonction.

On la trouve donc en partant de la fonction dont on cherche la dérivée :

d(t) ou f(t) = ½ at² + v_o.t + d_o

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Pour calculer sa dérivée, on part de

v(t) ou f’(t) = [f(t + ∆t) – f(t)]/∆t

Si f (t) = ½ at² + v_o.t + d_o

alors

f’(t) = [(½ a(t + ∆t)² + v_o(t + ∆t) + d_o) – ( ½ at² + v_o.t + d_o)]/∆t

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On développe…

f’(t) = (½ at² + at∆t +½a∆t² + v_o.t + v_o_.∆t + d_o – ½ at² – v_o.t – d_o)/∆t

…on simplifie…

f’(t) = (at∆t + ½a∆t² + v_o.∆t)/∆t

…tant qu’on peut.

f’(t) = a.t + a∆t + v_o

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On s’est débarrassé de la division par 0. Comme ∆t tend vers 0, on peut le considérer comme négligeable et le retirer de la formule.

f’(t) ou v = a.t + v_o

est donc la dérivée de

f(t) ou d = ½ at² + v_o.t + d_o

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Dérivée de dérivée

Si une dérivée est une fonction, elle se dérive comme toute autre fonction.

Si f’(t) = a.t + v_o

alors

f’(t+∆t) = a(t+ ∆t) + v_o

donc

f’’(t) = [f’(t + ∆t) – f’(t)]/∆d

devient

f’’(t) = [(a(t + ∆t) + v_o) – (at + b)]/∆t

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On développe…

f’’(t) = (at + a∆t + v_o – at – v_o)/∆t

…on simplifie.

f’’(t) = a∆t /∆t

f’’(t) = a

qui est donc la dérivée de

f’(t) = at + v_o

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Traduction en formules cinématiques

Lors d’une accélération constante, la courbe des vitesses forme une parabole. Son équation est donc celle du 2^nd degré.

en termes mathématiques

y(x) = a.x² + b.x + c

en termes cinématiques

d(t) = ½ a.t² + v_o.t + d_o

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Correspondance des termes

y = coordonnée en ordonnée → d = distance parcourue

a = taux de variation ½ → a = ½ accélération

x² = coordonnée en abscisse au ² → t² = temps au ²

b.x = constante . x → v_o.t = vitesse initiale.temps

c = constante → d_o= distance initiale

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En dérivant la formule de distance

d = ½ a.t² + v_o.t + d_o

nous obtenons sa dérivée, la vitesse

v = a.t + v_o

et la dérivée de la vitesse, l’accélération

a = a

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La règle des puissances

Une règle sur les puissances nous permet d’arriver au même résultat en évitant ce long développement. Admettons d’abord deux règles.

Dérivée d’un nombre élevé à une puissance

x^m = m.x^m-1

Dérivée d’une constante

c = 0

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Calculons la dérivée de l’équation du second degré

ax² + bx + c

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Calcul de la dérivée

y’ ou y’(x) ou f’(x) ou ẏ

y(x) = a.x² + b.x + c

sa dérivée est

y’(x) = 2a.x^2-1 + 1.b.x^1-1 + 0

autrement dit

y’(x) = 2ax + b

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Calcul de la dérivée de la dérivée

y’’ ou y’’(x) ou f’’(x) ou ӱ

y’(x) = 2ax + b

sa dérivée est

y’’(x) = 2.1.a^1-1 + 0

autrement dit

y’’(x) = 2a

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Conclusion sur les dérivées

On peut dire que

y = a.x²+b.x+c trace une parabole (équation 2^nd degré)
y’ = 2.a.x+b trace une tangente à la parabole (équation 1^er degré)
y’’ = 2.a incline plus ou moins la tangente à la parabole (taux de variation)

comme on peut dire que

d = ½a.t²+v_o.t+d_o trace une parabole ( courbe des vitesses)
v = a.t + v_o.t trace une tangente à la parabole ( vitesse en x (t) )
a = a incline plus ou moins la tangente (accélération)

La dérivée peut se définir comme étant

la pente d’une droite (vitesse moyenne ou constante)
la tangente à une courbe (vitesse instantanée)
le taux de variation d’une fonction (vitesse instantanée)
le taux de variation d’un taux de variation (accélération)

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Intégrales

A RÉDIGER!!!!!

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Sommaire général

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