Dérivées
La vitesse est la dérivée de la distance en fonction du temps. Comme elle-même évolue en fonction du temps, elle a sa propre dérivée : l’accélération.
Une vitesse moyenne se calcule avec
v(t) = ∆d / ∆t
formule simplifiée de
v(t) = (d2 – d1) / (t2 – t1)
Le calcul d’une distance ou d’une vitesse dépend de la durée choisie. C’est le sens de la formulation
d(t) = distance en fonction du temps
v(t) = vitesse en fonction du temps
d(t) est une fonction. On peut se suffire de d ou l’appeler f(t), notation propre à la fonction.
v(t) est une fonction de fonction. On peut se suffire de v, ou l’appeler f’(t), notation propre à la dérivée.
v(t) = ∆d / ∆t
Quelque chose en fonction d’autre chose, c’est f (autre chose)
d en fonction de t c’est d(t) ou f(t)
d1 en fonction de t1 c’est d1(t1) ou f (t1)
d2 en fonction de t2 c’est d2(t2) ou f (t2)
v en fonction de t c’est v(t) ou f’(t)v
On peut donc écrire
f’(t) = [f(t2) – f(t1)] / (t2 – t1)
si ∆t = t2 – t1 alors t2 = t1 + ∆t
En remplaçant t2 par t1+∆t, on obtient
v(t) = [f(t1 + ∆t) – f(t1)] / (t1 + ∆t – t1)
plus simplement
v(t) = [f(t + ∆t) – f(t)] / ∆t
Cette formule de la dérivée est développée de
v(t) = (d2 – d1) / (t2 – t1)
fonction résumée par
v(t) = ∆d / ∆t
Si ∆t tend vers 0, ∆d aussi. Or, diviser 0 par 0 ne nous avance pas beaucoup.
Retour à la définition : une dérivée mesure l’évolution d’une autre fonction.
On la trouve donc en partant de la fonction dont on cherche la dérivée :
d(t) ou f(t) = ½ at² + vo.t + do
Pour calculer sa dérivée, on part de
v(t) ou f’(t) = [f(t + ∆t) – f(t)]/∆t
Si f (t) = ½ at² + vo.t + do
alors
f’(t) = [(½ a(t + ∆t)² + vo(t + ∆t) + do) – ( ½ at² + vo.t + do)]/∆t
On développe…
f’(t) = (½ at² + at∆t +½a∆t² + vo.t + vo.∆t + do – ½ at² – vo.t – do)/∆t
…on simplifie…
f’(t) = (at∆t + ½a∆t² + vo.∆t)/∆t
…encore…
f’(t) = a.t + a∆t + vo
On s’est débarrassé de la division par 0. Comme ∆t tend vers 0, on peut le considérer comme négligeable et le retirer de la formule.
f’(t) ou v = a.t + vo
est donc la dérivée de
f(t) ou d = ½ at² + vo.t + do
© Christophe Clamaron 2020