ACCÉLÉRATION CONSTANTE

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Première formule
Seconde formule
Autres formules
Variation constante d’intervalle
Accélération et cadence

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Première formule de l’accélération constante

a = v/t

Vitesse et accélération sont des taux de variations. Une vitesse mesure une variation de position en divisant une distance par le temps, …

Vitesse constante = distance / temps

v_const = d/t

…et une accélération, une variation de vitesse en divisant une vitesse par le temps.

accélération = vitesse instantanée / temps

a = v_inst /t

Cette fois, la vitesse n’est plus constante mais instantanée. Sa formule est un peu différente.

vitesse instantanée = 2 x distance / temps

v_inst= 2d/t

On peut, dans la formule d’accélération, substituer 2d/t à v.

a = 2d/t/t soit a = 2d/t²

Ainsi s’explique l’unité de l’accélération constante m/s² : diviser deux fois une distance par une durée en secondes, c’est la diviser par la durée au carré.

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EXEMPLE

Un véhicule démarre en accélérant de manière constante. Au bout de 4 secondes, le conducteur note sa vitesse au compteur: 40 m/s.

a = v/t

a = (40m/1s)/4s

a = 10m/s²

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Seconde formule

a = 2d/t²

Ce n’est pas moi qui l’ai formulée ainsi, mais tout de même …

Cette formule mérite un détour historique.

Vers 1602, Galilée cherchait une loi de cinématique en faisant rouler une boule sur un plan incliné, le long duquel des clochettes étaient disposées de manière à tinter au passage de la boule. En répartissant ces clochettes régulièrement, leur tintement allait en accélérant.

Pour un tintement régulier, l’intervalle entre clochettes ne devait pas l’être.

Galilée observa que l’intervalle entre chaque clochette valait l’intervalle précédent, augmenté de deux fois la distance initiale, celle entre le départ de la boule et la première clochette.

Ce 2 fois l’unité de distance, c’est l’accélération constante.

En cumulant les valeurs trouvées, il obtint les rapports entre les distances parcourues par la boule à chaque clochette et leur durée.

A la 1ère clochette, la distance depuis 0 = 1 (1²)

A la 2ème , la distance depuis 0 = 1+3 = 4 (2²)

A la 3ème , la distance depuis 0 = 1+3+5 = 9 (3²)

A la 4ème , la distance depuis 0 = 1+3+5+7 = 16 (4²)

Il venait de découvrir la loi des distances en fonction du carré du temps.

distance depuis 0 = unité de distance. temps ²

Plus tard dans le même siècle, Newton donna à cette loi sa forme définitive en y incluant l’accélération. Comme elle vaut 2 fois l’unité de distance, il la divisa par 2.

distance (en fonction du temps) = 1/2 accélération . temps ²

d (t) = 1/2 a.t²

De cette formule, on extrait celle de l’accélération

Si d (t) = 1/2 a.t² alors a = 2d/t²

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EXEMPLE

Un cube accélère sur 1 mètre pendant une seconde. Son accélération est de

a = 2 . 1m / 1s²

= 2m/s²

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Autres formules de l’accélération

Sans démontrer, nous promettons qu’elles fonctionnent.

Celle-ci permet de ne pas se référer au temps,…

a = v²/2d

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… et celle-là, de ne pas connaitre l’origine du mouvement.

a = 4(BC – AB)/Δt²

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Variation constante d’intervalle

Nous avons vu qu’on répartit de la même manière des secondes selon une vitesse constante que des phases selon un espacement ou intervalle constant.

vitesse constante = distance / temps v = d/t

intervalle constant = distance / phases i_const = d/p

De même, on répartit des secondes selon une accélération constante comme des phases selon une variation constante d’intervalle.

accélération = 2 . distance / temps² a = 2d/t²

variation intervalle = 2 . distance / phases² i_varia = 2d/p²

Pour connaître l’intervalle à chaque phase, on arrange la formule

Si i_varia = 2d/p² alors d = 1/2 i_varia. p²

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EXEMPLE

Un cube se déplace de 12 cm en 1s en accélération constante à 12 p/s. Cela fait 12 phases à répartir.

Accélération a = 2.(12cm)/(1s)² = 24 cm/s²

Variation de l’intervalle I_variation = 2.(12cm)/(12p)² = 0,01666… m/p²

On peut calculer chaque phase. A ce stade, un tableur numérique est conseillé.

Pour consoler le dessinateur qui n’aurait qu’une simple calculette : la facilité de report compense la difficulté de calcul. Quand les valeurs sont connues, il suffit de caler le 0 de la règle sur l’origine du segment à graduer, et, sans bouger la règle, de les reporter.

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Accélération et cadence

Voici quelques vidéos montrant, selon divers points de vue, le rapport entre l’accélération constante et la notion de cadence, entendue sous divers aspects : cadence d’animation ou cadence sonore.

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